Abstract. -Fix K a p-adic field and denote by G K its absolute Galois group. Let K∞ be the extension of K obtained by adding p n -th roots of a fixed uniformizer, and G∞ ⊂ G K its absolute Galois group. In this article, we define a class of p-adic torsion representations of G∞, called quasi-semi-stable. We prove that these representations are "explicitly" described by a certain category of linear algebraic objects. The results of this note should be considered as a first step in the understanding of the structure of quotient of two lattices in a crystalline (resp. semi-stable) Galois representation.Résumé (Représentations quasi-semi-stables). -Soient K un corps p-adique et G K son groupe de Galois absolu. Soit K∞ l'extension de K obtenue en ajoutant les racines p n -ièmes d'une uniformisante fixée. Notons G∞ ⊂ G K le groupe de Galois absolu de K∞. Dans cet article, on définit une classe de représentations p-adiques de torsion du groupe G∞, que l'on appelle quasi-semi-stables. Nous montrons que ces représentations sont « explicitement » décrites via une certaine catégories d'objets d'algèbre linéaire. Les résultats dans cette note doivent être considérés comme une première étape dans l'étude de la structure des représentations qui apparaissent comme quotients de deux réseaux d'une représentation galoisienne cristalline (resp. semi-stable).

We present a new method to propagate p-adic precision in computations, which also applies to other ultrametric fields. We illustrate it with some examples and give a toy application to the stable computation of the SOMOS 4 sequence.

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We discuss theoretical and algorithmic questions related to the p-curvature of differential operators in characteristic p. Given such an operator L, and denoting by Ξ(L) the characteristic polynomial of its p-curvature, we first prove a new, alternative, description of Ξ(L). This description turns out to be particularly well suited to the fast computation of Ξ(L) when p is large: based on it, we design a new algorithm for computing Ξ(L), whose cost with respect to p is O˜(p 0.5 ) operations in the ground field. This is remarkable since, prior to this work, the fastest algorithms for this task, and even for the subtask of deciding nilpotency of the p-curvature, had merely slightly subquadratic complexity O˜(p 1.79 ).

We describe an algorithm for fast multiplication of skew polynomials. It is based on fast modular multiplication of such skew polynomials, for which we give an algorithm relying on evaluation and interpolation on normal bases. Our algorithms improve the best known complexity for these problems, and reach the optimal asymptotic complexity bound for large degree. We also give an adaptation of our algorithm for polynomials of small degree. Finally, we use our methods to improve on the best known complexities for various arithmetics problems.

Étant donné un nombre premier impair p et un corps p-adique K, on développe dans cet article, un analogue de la théorie des (ϕ, Γ)-modules de Fontaine en remplaçant la p-extension cyclotomique par l'extension K∞ de K obtenue en ajoutant un système compatible de racines p n -ièmes d'une uniformisante π fixée. Ceci nous conduit à une nouvelle classification des représentations p-adiques de GK = Gal(K/K) via des (ϕ, τ )-modules. Nous établissons ensuite un lien entre la théorie des (ϕ, τ )-modules à celle des (ϕ, N∇)-modules de Kisin. Comme corollaire, nous répondons à une question de Tong Liu en démontrant que, lorsque K est une extension finie de Qp, toute représentation de E(u)-hauteur finie de GK est potentiellement semi-stable. AbstractLet p be an odd prime number and K be a p-adic field. In this paper, we develop an analogue of Fontaine's theory of (ϕ, Γ)-modules replacing the p-cyclotomic extension by the extension K∞ obtained by adding to K a compatible system of p n -th roots of a fixed uniformizer π of K. As a result, we obtain a new classification of p-adic representations of GK = Gal(K/K) by some (ϕ, τ )-modules. We then make a link between the theory of (ϕ, τ )-modules discussed above and the so-called theory of (ϕ, N∇)modules developped by Kisin. As a corollary, we answer a question of Tong Liu : we prove that, if K is a finite extension of Qp, every representation of GK of E(u)-finite height is potentially semi-stable. (µ) K agit trivialement sur T .Remarque. La constante c(K) dépend de façon assez explicite de la ramification absolue de K ; par exemple, lorsque e est premier avec p (i.e. lorsque K est absolument modérément ramifié), elle peut être choisie égale à 1 + e + e p−1 . Nous nous intéressons enfin plus particulièrement aux (ϕ, τ )-modules qui sont de hauteur divisant E(u) r pour un certain entier r (on dit aussi : de E(u)-hauteur r). L'intérêt de cette notion a été récemment mis en lumière dans un premier temps par Breuil dans [4] puis par Kisin dans [13] qui a démontré dans loc. cit. qu'une représentation semi-stable était nécessairement de E(u)-hauteur finie. Réciproquement, dans le §3, nous démontrons le théorème suivant : Théorème 3. On suppose que K est une extension finie de Q p . On note s le plus grand entier tel que K contienne une racine primitive p s -ième de l'unité. Alors, toute représentation de E(u)-hauteur finie de G K devient semi-stable en restriction au sous-groupe (distingué) G s = Gal(K/K( p s √ π)).Il est à noter que les bornes de ramification données par le théorème 2 jouent un rôle absolument essentiel dans la démonstration du théorème 3 (il en est en fait le point de départ). En effet, elles fournissent des bornes sur l'action de τ sur le (ϕ, τ )-module associé à V qui sont exactement celles dont on a besoin pour construire un opérateur log τ sur le (ϕ, τ )-module associée à V (en se basant la formule ∞ i=1 (id−τ ) i i ). À partir de cet opérateur, on fabrique ensuite un (ϕ, N )-module filtré à la Fontaine duquel émergera finalement une représentation semi-stable. Il...

International audienceIn this paper, we provide an algorithm for the factorization of skew polynomials over finite fields. It is faster than the previously known algorithm, which was due to Giesbrecht (1998). There are two main improvements. The first one is obtained through a careful study of the structure of the quotients of a skew polynomial ring, using theoretical results relating skew polynomial rings and Azumaya algebras. The second improvement is provided by giving faster sub-algorithms for the arithmetic in skew polynomial rings, such as multiplication, division, and extended Euclidean division