On Invariant Coordinate System (ICS) Functionals

Abstract

Résumé Les problèmes d'équivariance et d'invariance sont fréquents en analyse multivariée, o des adaptations sont parfois nécessaires en vue de l'obtention de versions équivariantes ou invariantes des procédures utilisées. Ces adaptations reposent souvent sur un traitement préliminaire des données, standardisation ou transformation via un système de coordonnées invariantes (ICS). Dans cet article, les méthodes de standardisation, ainsi que les caractéristiques des fonctionnelles et statistiques utilisées dans le cadre des ICS et leurs invariances sous l'action de certains groupes de transformations, sont examinées. En particulier, la méthode de construction fondée sur l'utilisation de deux matrices de scatter, développée par Tyler et al. (2009), ainsi que la méthode directe suggérée par Chaudhuri & Sengupta (1993), sont examinées. Diverses applications sont discutées.

Independent component analysis for tensor-valued data

“…Flattening can also be used to express the m-mode product of a tensor with itself with means of ordinary matrix multiplication. Namely, (9), (14), and (16). Let β ∈ R p 1 ×...×p r be the tensor with the entries E(z 4 i 1 ...i r ).…”

Vector-valued skewness for model-based clustering

“…Such a function is invariant with respect to affine, nonsingular transformations, as required by Ilmonen et al (2012), among others. For example, several authors (Davis, 1980;Isogai, 1983;Mòri et al, 1993) independently proposed the squared euclidean norm β P 1,d (x) =   γ 1,d   2 as a scalar measure of multivariate skewness.…”

“…A detailed description of ICS is beyond the scope of this paper, and the interested reader may refer to Tyler et al (2009), Nordhausen et al (2011 and Ilmonen et al (2010Ilmonen et al ( , 2012. One main advantage of ICS is its flexibility in discovering cluster structures by means of kurtosis, as measured by comparing two scatter matrices.…”

JADE for Tensor-Valued Observations

“…For a vector valued x ∈ R p and a full-rank matrix A ∈ R p×p , (Ax) st = Ux st for some orthogonal U [22]. Unfortunately, the analogous relation in the tensor setting,…”