On Hammersley's minimum problem for a rolling sphere

Arthurs, A. M.; Walsh, G. R.

doi:10.1017/s0305004100064471

Cited by 45 publications

(17 citation statements)

References 1 publication

Supporting

Mentioning

Contrasting

Unclassified

Order By: Relevance

“…Setting N = γ 2 − 1 A + γ K + γ 2 P , extending L to L 0 0 0 , and calculating the differentials using ( * ) gives: where the last line follows from Lemma 21,4). Now compute using Theorem 9, 1) and Lemma 21:…”

Section: Complete Integrabilitymentioning

confidence: 99%

“…The basic requirement is to determine the path of minimal length in E n traced by the point of contact of the sphere S n as it rolls without slipping from a given initial point x 0 ∈ E n to a prescribed terminal point x 1 ∈ E n and which also transfers a given initial rotational orientation of the sphere to some prescribed terminal orientation, where n ≥ 2. The case n = 2 has been studied in particular contexts by a variety of authors [4,6,12,14,18,21]. In [14], it is shown that the optimal curves are also solution curves for Euler's elastic problem, whereas [21] makes an interesting connection with a 1910 paper by Cartan and concludes that the symmetry algebra for the distribution of the rolling sphere is a noncompact real form of the exceptional Lie group G 2 .…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

See 1 more Smart Citation

Optimal Control of the Sphere Sn Rolling on En

Zimmerman¹

2004

Math. Control Signals Systems

View full text Add to dashboard Cite

This paper investigates the optimal control problem concerning the sphere S n rolling without slipping on n-dimensional Euclidean space E n , n ≥ 2. The differential equations governing the behaviour of the sphere constitute a subRiemannian distribution on the Lie group G = R n × SO n+1 . Minimizing over the lengths of paths traced by the point of contact of the sphere yields an optimal control problem which is exploited using Noether's Theorem to derive a family of integrals of motion for the system. This family is then employed to prove that all optimizing trajectories are projections of normal extremals. The Lax form of the extremal equations gives rise to an additional family of integrals which is reminiscent of the Manakov integrals of motion for the free rigid body problem. Both families are required to show complete integrability if n = 4.

show abstract

Section: Complete Integrabilitymentioning

confidence: 99%

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

Optimal Control of the Sphere Sn Rolling on En

Zimmerman¹

2004

Math. Control Signals Systems

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

“…Позже А. Артур и Дж. Уолш получили уравнения для экстремальных траекторий в терминах кватернионов [2]. В. Джурджевич провел качественное исследование этих тра-екторий и показал, что при оптимальном качении точка контакта сферы и плоскости движется по эластикам Эйлера [3].…”

Section: и ю бесчастныйunclassified

Об Оптимальном Качении Сферы С Прокручиванием, Без Проскальзывания

Бесчастный¹,

Beschatnyi²

2014

Математический сборник

View full text Add to dashboard Cite

Работа выполнена при поддержке гранта Правительства РФ для государственной под-держки научных исследований (договор № 14.B25.31.0029) и Российского фонда фундамен-тальных исследований (гранты № 12-01-00913 и № 13-01-91162-ГФЕН_а [12] было показа-но, что в отличие от перечисленных задач экстремальные траектории в задаче об оптимальном качении сферы с прокручиванием, без проскальзывания опи-сываются элементарными функциями. В частности, точка контакта сферы и плоскости в этом случае движется по синусоиде или прямой. Благодаря про-стой параметризации геодезических многим свойствам можно дать наглядную механическую или геометрическую трактовку, и потому задача представля-ет особый интерес с точки зрения математической теории управления и суб-римановой геометрии. Примером механической системы, в которой имеется прокручивание, является бильярдный шар. Решение этой задачи может быть в дальнейшем применено для исследования подобных систем.В настоящей работе получена полная параметризация экстремальных тра-екторий и начато исследование их оптимальности. Исследуются непрерывные и дискретные симметрии гамильтоновой системы принципа максимума Понт-рягина и соответствующие точки Максвелла, т.е. точки, в которые несколь-ко экстремальных траекторий приходят в один момент времени с одинаковым значением функционала. Как известно, после такой точки экстремальная тра-ектория не оптимальна [11], и потому соответствующее время дает верхнюю оценку времени разреза. В работе более детально рассматривается подзада-ча о возвращении сферы в исходную точку с заданной ориентацией. В этом случае доказано, что экспоненциальное отображение -двулистное накрытие определенных областей в слое кокасательного расслоения на соответствующие области в SO(3). Рассмотрена связанная с задачей о возвращении метрика на группе вращений трехмерного пространства и ее основные свойства. § 2. Постановка задачи Выберем в трехмерном пространстве R 3 такой неподвижный правый орто-нормированный репер (e 1 , e 2 , e 3 ), чтобы плоскость, по которой катится сфе-ра, была натянута на (e 1 , e 2 ), а e 3 направлен в верхнее полупространство. ОБ ОПТИМАЛЬНОМ КАЧЕНИИ СФЕРЫ 5Выберем также подвижный правый ортонормированный репер (e 3 ) → (e 1 , e 2 , e 3 ), а ее положение -координатами центра (x, y) ∈ R 2 в базисе (e 1 , e 2 ). В качестве управляющих параметров возьмем компоненты вектора угловой скорости сферы в неподвижном репере − → Ω = (u 2 , −u 1 , u 3 ) ∈ R 3 . Тогда кинематика системы задается уравнениямиВ качестве минимизируемого функционала J[u] выберем квадратичный функ-ционал2) который с точностью до постоянного множителя представляет собой интеграл от вращательной энергии сферы. Требуется перекатить сферу из начального состояния Q 0 в конечное Q 1 так, чтобы достигался минимум функционала J [u]. Эта задача формулируется естественным образом как субриманова левоин-вариантная задача на группе Ли G = R 2 × SO(3). Напомним [13], что субри-мановым многообразием (M, ∆, g) называется гладкое многообразие M с рас-пределением ∆, на котором задана риманова метрика g. Липш...

show abstract

“…А. Артурс и Дж. Уолш в [6] доказали, что уравнения для экстремальных траекторий в этой задаче интегрируемы в эллиптических функциях. В. Джарджевич в [7], [8] показал, что при оптимальном качении точка контакта сферы и плоскости движется по эластикам Эйлера (стационар-ным конфигурациям упругого стержня на плоскости; см.…”

Section: § 1 введениеunclassified