Об Оптимальном Качении Сферы С Прокручиванием, Без Проскальзывания

Abstract

Работа выполнена при поддержке гранта Правительства РФ для государственной под-держки научных исследований (договор № 14.B25.31.0029) и Российского фонда фундамен-тальных исследований (гранты № 12-01-00913 и № 13-01-91162-ГФЕН_а [12] было показа-но, что в отличие от перечисленных задач экстремальные траектории в задаче об оптимальном качении сферы с прокручиванием, без проскальзывания опи-сываются элементарными функциями. В частности, точка контакта сферы и плоскости в этом случае движется по синусоиде или прямой. Благодаря про-стой параметризации геодезических многим свойствам можно дать наглядную механическую или геометрическую трактовку, и потому задача представля-ет особый интерес с точки зрения математической теории управления и суб-римановой геометрии. Примером механической системы, в которой имеется прокручивание, является бильярдный шар. Решение этой задачи может быть в дальнейшем применено для исследования подобных систем.В настоящей работе получена полная параметризация экстремальных тра-екторий и начато исследование их оптимальности. Исследуются непрерывные и дискретные симметрии гамильтоновой системы принципа максимума Понт-рягина и соответствующие точки Максвелла, т.е. точки, в которые несколь-ко экстремальных траекторий приходят в один момент времени с одинаковым значением функционала. Как известно, после такой точки экстремальная тра-ектория не оптимальна [11], и потому соответствующее время дает верхнюю оценку времени разреза. В работе более детально рассматривается подзада-ча о возвращении сферы в исходную точку с заданной ориентацией. В этом случае доказано, что экспоненциальное отображение -двулистное накрытие определенных областей в слое кокасательного расслоения на соответствующие области в SO(3). Рассмотрена связанная с задачей о возвращении метрика на группе вращений трехмерного пространства и ее основные свойства. § 2. Постановка задачи Выберем в трехмерном пространстве R 3 такой неподвижный правый орто-нормированный репер (e 1 , e 2 , e 3 ), чтобы плоскость, по которой катится сфе-ра, была натянута на (e 1 , e 2 ), а e 3 направлен в верхнее полупространство. ОБ ОПТИМАЛЬНОМ КАЧЕНИИ СФЕРЫ 5Выберем также подвижный правый ортонормированный репер (e 3 ) → (e 1 , e 2 , e 3 ), а ее положение -координатами центра (x, y) ∈ R 2 в базисе (e 1 , e 2 ). В качестве управляющих параметров возьмем компоненты вектора угловой скорости сферы в неподвижном репере − → Ω = (u 2 , −u 1 , u 3 ) ∈ R 3 . Тогда кинематика системы задается уравнениямиВ качестве минимизируемого функционала J[u] выберем квадратичный функ-ционал2) который с точностью до постоянного множителя представляет собой интеграл от вращательной энергии сферы. Требуется перекатить сферу из начального состояния Q 0 в конечное Q 1 так, чтобы достигался минимум функционала J [u]. Эта задача формулируется естественным образом как субриманова левоин-вариантная задача на группе Ли G = R 2 × SO(3). Напомним [13], что субри-мановым многообразием (M, ∆, g) называется гладкое многообразие M с рас-пределением ∆, на котором задана риманова метрика g. Липш...