Numerical Solution of a Diffusion Consumption Problem with a Free Boundary

Abstract

The main advantages over the previous domain type BEM attempt are: -Thermal conductivity of solid and liquid phase could be different. -The time-dependent fundamental solution weighting gives better accuracy (larger time-steps could be used) as the -No non-linear systems of algebraic equations occur. steady-state one.The developed procedure could serve as a basis for the solution of a broad field of scientific and engineering applications. References1 ZABARAS, N.; MUKHERJEE, S.: An analysis of solidification problems by the boundary element method. Internat. J. Numer. Methods 2 TIBA, M.: The boundary element method in two-phase Stefan problems.Das dreidimensionale Schalenkontinuum wird durch die Schalenmittelflache, die durch eine glatte geschlossene Randkurve e berandet ist, idealisiert. Die Wanddicke h wird als klein gegenuber den charakteristischen Langenabmessungen angenommen [I, 21. Zur Beschreibung der Schalenmittelflache werden korperfeste krummlinige schiefwinkelige Koordinaten 0" (a = 1,2) eingefiihrt. Eine dritte geradlinige Koordinate O3 fiihrt in den Schalenraum. 2. Variable und deren matrizielle Zusammenfassung Zur Darstellung einer geometrisch nichtlinearen Schubverzerrungstheorie von diinnen Schalen mit endlichen Rotationen mittels einer Operatorformulierung werden nachfolgend die aufieren und inneren mechanischen Variablen, die im Variationsprinzip paarweise miteinander gekoppelt sind, eingefuhrt und in Matrizen zusammengefafit [3]: Aul3ere mechanische Variablen Innere mechanische Variablen Ver-Ver-Schnittschiebungen zerrungen grofien d'Alembertsche TragheitsgroBen Lasten Short Lecture Session 4.3a T 615 Die physikalischen Randverschiebungen und -verdrehungen YE, entlang des Randes e, und die physikalischen RandschnittgroBen ttt entlang des Randes e, werden wie folgt definiert: Vorschreibbare Randvariablen entlang e, entlang e, -m, n, n, n3 ~ 1 + w 3 1 + w 3 4? = Iv, 0, v 3 Wt %I > Physikalische Randverschiebungen und -verdrehungen Physikalische RandschnittgroBen 3. Struktur der Grundgleichungen und Definition der Operatoren Mit den in (1,2) eingefiihrten Matrizen lassen sich die lokalen strukturmechanischen Grundgleichungen in einer Operatorform darstellen. Die erste Variation der kinematischen Beziehungen (3a), die konstitutiven Gleichungen (3 b) und als dritte Gleichungsgruppe die Bewegungsgleichungen (3c) lassen sich wie folgt anschreiben [2, 31:E -ist ein symmetrischer Werkstoffoperator, der als unabhangige Materialkonstanten den Elastizitatsmodul E , sowie die Querkontraktionszahl v beinhaltet und zur Beschreibung des elastischen Werkstoffverhaltens dient. D, ist der Differentialoperator des dynamischen Gleichgewichts und D, der kinematische Operator, der in der Formeingefiihrt wurde [3]. Der Operator d, = ( . . . ) I a in Gleichung (4) kurzt kovariante Ableitungen hinsichtlich der Metrik der unverformten Schalenmittelflache ab. Mit den algebraischen Transformationsoperatoren R, und R, sowie dem Randoperator D , folgen die vorschreibbaren Randverschiebungen und -verdrehungen Y,+, und die Ran...

Error estimates and free-boundary convergence for a finite difference discretization of a parabolic variational inequality

“…As pointed out e. g. in [1,2,3,9] (-x) 9 and C/g (je) ^ 1, U' o (x) ^ 0 for x > 0, the solution U satisfies U (-x, t) = U(x 9 t) and U t (x, t) ^0, U x (x 9 t) £0 in the fîrst quadrant Q = { (x, t) \ x > 0, t > 0 }, so that, setting:…”

“…u : Q -* R; u is strictly positive in Q; (1)(2)(3) see e. g. [1,2,3,7,8,9,13]; see also [11,17,18,19] for gênerai results about parabolic free-boundary problems and for further références. As pointed out e. g. in [1,2,3,9] (-x) 9 and C/g (je) ^ 1, U' o (x) ^ 0 for x > 0, the solution U satisfies U (-x, t) = U(x 9 t) and U t (x, t) ^0, U x (x 9 t) £0 in the fîrst quadrant Q = { (x, t) \ x > 0, t > 0 }, so that, setting:…”

“…This theoretical approach was developed in [1] by means of a semi-discretization of a problem like (1.8), (1.9) (actually, in the first quadrant 0; in ( 3 ) We follow the notations of [15,14], to which books we refer also for the properties of Sobolev spaces; in particular, U e H 2t l (R^) means that U, U x , U XXJ U t e L 2 (R%).…”

The truncation method for the solution of a class of variational inequalities

“…The truncation method was developed for approximating the solution of a spécifie parabolic diffusionconsumption problem with a moving free surface in Berger, Ciment, and Rogers [2]. Since this diffusion-consumption problem is equivalent to a parabolic variational inequality problem (Lewy and Stampacchia [10]), the truncation method is hence seen to be applicable to this type of variational inequality.…”

Velocity-Based Moving Mesh Methods for Nonlinear Partial Differential Equations

“…The Crank-Gupta problem [18,48,109] in multiple space dimensions is with boundary conditions u = 0 and ∂u/∂n = 0 on ∂R(t). Mass is not conserved for this problem but it is easily verified from (5.8), using the boundary conditions, that the rate of change of mass is given byθ = −|R|.…”