Nonlinear Gradient Flow of a Vertical Vortex Fluid in a Thin Layer

Abstract

A new exact solution to the Navier -Stokes equations is obtained. This solution describes the inhomogeneous isothermal Poiseuille flow of a viscous incompressible fluid in a horizontal infinite layer. In this exact solution of the Navier -Stokes equations, the velocity and pressure fields are the linear forms of two horizontal (longitudinal) coordinates with coefficients depending on the third (transverse) coordinate. The proposed exact solution is two-dimensional in terms of velocity and coordinates. It is shown that, by rotation transformation, it can be reduced to a solution describing a three-dimensional flow in terms of coordinates and a two-dimensional flow in terms of velocities. The general solution for homogeneous velocity components is polynomials of the second and fifth degrees. Spatial acceleration is a linear function. To solve the boundaryvalue problem, the no-slip condition is specified on the lower solid boundary of the horizontal fluid layer, tangential stresses and constant horizontal (longitudinal) pressure gradients specified on the upper free boundary. It is demonstrated that, for a particular exact solution, up to three points can exist in the fluid layer at which the longitudinal velocity components change direction. It indicates the existence of counterflow zones. The conditions for the existence of the zero points of the velocity components both inside the fluid layer and on its surface under nonzero tangential stresses are written. The results are illustrated by the corresponding figures of the velocity component profiles and streamlines for different numbers of stagnation points.

Unidirectional steady-state inhomogeneous Couette flow with a quadratic velocity profile along a horizontal coordinate

“…Скорость жидкости на верхней границе является параболическим профилем относительно координаты y , описывающим суперпозицию поступательного и вращательного движений. Как было показано в статьях [20][21][22][23][24][26][27][28], задание краевого возмущения приводит к генерации вертикальной закрутки в жидкости и неоднородному распределению касательных напряжений.…”

“…Недавно были опубликованы статьи, в которых анонсировались обобщения плоского течения Куэтта [20][21][22][23][24][25][26][27][28]. В работах [20][21][22][23][24][25][26][27][28]…”

“…Такие точные решения описывают неоднородное течение Куэтта [20][21][22][23][24][25][26][27][28]. Рассмотрены модификации полученных в [20][21][22][23][24][25][26][27][28] семейств точных решений размерности (2+1) на трехмерные движения вязкой несжимаемой жидкости [24,28,29].…”

“…Характерная особенность точных решений, анонсированных в [20][21][22][23][24][25][26][27][28], заключается в рассмотрении нелинейных эффектов при задании граничных возмущений для неоднородного поля скоростей. В статьях [20][21][22][23][24][25][26][27][28] были предложены математические модели, объясняющие экваториальные противотечения мирового океана и позволяющие учесть усиление скоростей и колебаний крупномасштабных волновых движений, но исследование устойчивости такого класса течений к настоящему времени не проведено.…”

Convective layered flows of a vertically whirling viscous incompressible fluid. Temperature field investigation

“…It was shown that the vertical vorticity component can exist when the fluid does not rotate. Isothermal flows of this kind were studied in [38,39]. When considering thermal factors, it is important not only to study their influence on the velocity field, but also to evaluate the contribution of the velocity field to the stratification of the temperature field.…”