Neue Begr�ndung der arithmetischen Theorie der algebraischen Funktionen einer Variablen

Abstract

Die in meiner Abhandlung im zweiten Bande dieser Zeitschrift S. 433-452 gegebene Theorie der algebraischen Zahlen kann ohne weiteres auf die Untersuchung der algebraischen Funktionen einer Variablen ausgedehnt werden, und ihre Ergebnisse sind hier wesentlich einfacher als die dort abgeleiteten. Es scheint mir aber, da~ sie eine neue Einsicht in die arithmetische Theorie der algebraischen Funktionen einer Variab]en ergeben. Ich benutze die Bezeichnungen uncl die Resultate der erw~ihnten Arbeit, welche ich bier mit A. Z. zitieren werde. w Untersuchung der rationalen Funktionen yon z fiir eine Stelle p dieser Variablen. Ist z eine komplexe Variable, so bilden die rationalen Funktionen Z ~-~ (z) yon z mit beliebigen konstan~en Koeffizienten einen KSrper K (z). Jedem konstanten Werte (z ~-e~ bzw. z == ~) yon z ordne ich eindeutig eine S~el!e p zu. Dann besitzt jede Funktion, Z dieses KSrpers in einer beliebigen Stelle p einen eindeutig bestimmten Zahlenwert Z (p), welcher 0, ~ oder e sein kann, we hi'er wie im folgenden c einen be~timmten endliehen und yon" Null verschiedenen Zahlenwert bezeiehnet. Im ersten bzw. im zweiten Falle heist p eine Nul~stelle bzw. ein Pol yon Z,, im letzten Falle wird Z eine Einheit oder eine E~Mte/itsfunktion fiir diese Stelle genannt. Die Funktion Z heif]t eine ganze Eunk~ion fiir die StelLe ~, wean Z(p) endlieh ist; ist Z(p)=co, is~ also p ein Pol fiir Z, so wird Z

On Weierstraß points whose first non-gaps are three.

“…But if it is expressible, then the following can be said. [2], [6], [11]). Suppose that S is a Riemann surface of genus g ^5, which is expressible äs a 3-sheeted covering of P 1 .…”

Über die Darstellbarkeit von Modulformen durch Thetareihen.

“…Im anderen Falle zerf llt eine Klasse Åae) 1 Å~é in genau 2 Klassen UQ 1 U-1 . r o (q) hat in der Einheitengruppe von & den Index 2.…”

“…Die Matrizen l s r\ (1) L l mit st = n, s >0, (r,s, i) = l, 0 ^r <t bilden bekanntlich ein Vertretersystem f r die Klassen nach P Q (q) linksseitig assoziierter primitiver Matrizen der Determinante n und der Form l ,),as=fes=c^ds=0 mod l. \qc d) ' Daher sind mit einer Modulfunktion ö (ô) auch die symmetrischen Funktionen der öÀ Die Matrizen l s r\ (1) L l mit st = n, s >0, (r,s, i) = l, 0 ^r <t bilden bekanntlich ein Vertretersystem f r die Klassen nach P Q (q) linksseitig assoziierter primitiver Matrizen der Determinante n und der Form l ,),as=fes=c^ds=0 mod l. \qc d) ' Daher sind mit einer Modulfunktion ö (ô) auch die symmetrischen Funktionen der öÀ…”

Book Review: Real elliptic curves

“…An undesirable side effect is that the level of abstraction is also high, perhaps out of proportion with the objectives. The author considers Chevalley [4] to be the "standard reference", citing Hensel and Landsberg [7] as a kind of classic counterpoise. Perhaps there is some middle way.…”