Multipoint problem for typeless systems of differential equations with constant coefficients

Abstract

UDC 517.95 For typeless systems of differential equations with constant coefficients, we investigate the well-posedness of the problem with multipoint conditions for a selected variable and 2g-periodic conditions for the other coordinates. The conditions of univalent solvability are established and the metric theorems are proved for lower bounds of small denominators that appear in the construction of solutions of the problems.

Multipoint problem for higher-order parabolic equations in a parallelepiped

“…(C 2 ) n+1 /2, and f k = max t∈[0,T ] |f k (t)|. Using relations (9), (14), and (27)-(30) and inequalities (8), (35), and (36), we get…”

“…, q − 1, in this polynomial does not exceed C 9 |λ k | bj/2 , where C 9 = C 9 (n, C 1 ). Using estimates (45) and Lemmas 1 and 2 from [8], we obtain…”

“…For the proof of the existence of a solution of the problem, the method of divided differences is used. We prove a metric-type theorem on lower bounds for the small denominators that appear in the construction of the solution.Problems for partial differential equations with multipoint conditions (with respect to both time and space variables) were studied in [1][2][3][4][5][6][7][8][9][10][11][12]. Problems for hyperbolic, parabolic, and typeless equations with multipoint conditions with respect to the selected variable t and certain conditions with respect to the other coordinates (periodicity conditions and Dirichlet-type conditions) were investigated in [1, 6-10].…”

Two-Point Problem for Linear Systems of Partial Differential Equations

“…Проте багатоточковi задачi для загальних рiвнянь iз частинними похiдними в обмежених областях є, взагалi, некоректними, а питання про їх розв'язнiсть у багатьох випадках пов'язане з проблемою малих знаменникiв [4,16], яка полягає у тому, що знаменники коефiцiєнтiв рядiв, якими зображуються розв'язки цих задач, можуть ставати як завгодно малими, що спричиняє розбiжнiсть вказаних рядiв. У працях [5,7,8,10,12,14,15,16,17,18,19,20,21,23,24,33] для подолання негативного впливу малих знаменникiв на збiжнiсть рядiв-розв'язкiв багатоточкових задач використано метричний пiдхiд [4,16] та результати метричної теорiї чисел [6]. Це дозволило встановити розв'язнiсть багатоточкових задач з простими вузлами iнтерполяцiї для рiвнянь iз частинними похiдними та їх систем для майже всiх (стосовно мiри Лебега) векторiв, складених зi значень вузлiв iнтерполяцiї та коефiцiєнтiв рiвнянь.…”

“…,старший член стосовно лексикографiчного впорядкування доданкiв у (27). Позначимо через E S δ множину тих векторiв ⃗ Y ∈ C ν , для яких нерiвнiсть, протилежна до нерiвностi (17), виконується для нескiнченної кiлькостi k ∈ Z p , а через E S δ (k, ρ), k ∈ Z p ,множину тих векторiв ⃗ Y ∈ Π ν (ρ), для яких нерiвнiсть, протилежна до нерiвностi (17), виконується при фiксованому k ∈ Z p .…”