Motivic Measures and Stable Birational Geometry

Larsen, Michael; Lunts, Valery A.

doi:10.17323/1609-4514-2003-3-1-85-95

Cited by 111 publications

(129 citation statements)

References 5 publications

Supporting

Mentioning

126

Contrasting

Unclassified

Order By: Relevance

“…On the other hand, using the weak factorization theorem again, it is easy to see that two stably birational irreducible smooth projective varieties have the same class in K0(Vark)/(L). Therefore, as pointed out in [6], b actually induces an isomorphism of K0(Vark)/(L) and…”

Section: A Counterexample On a Product Of Two Elliptic Curvesmentioning

confidence: 67%

“…Larsen and Lunts in [6], using the weak factorization theorem, show that over a field k of characteristic zero the following holds: Obviously, this homomorphism sends the class L of the affine line to zero. On the other hand, using the weak factorization theorem again, it is easy to see that two stably birational irreducible smooth projective varieties have the same class in K0(Vark)/(L).…”

Section: A Counterexample On a Product Of Two Elliptic Curvesmentioning

confidence: 99%

See 1 more Smart Citation

A note on congruences for theta divisors

Heinloth

2008

Comptes Rendus. Mathématique

View full text Add to dashboard Cite

The classes of two theta divisors on an Abelian variety in the naive Grothendieck ring of varieties need not be congruent modulo the class of the affine line. RésuméUne Note sur les congruences des diviseurs thêta. Dans l'anneau de Grothendieck des variétés, les classes de deux diviseurs thêta d'une même variété abélienne ne sont pas nécessairement congruentes modulo la classe de la droite affine. Soient Θ, Θ deux diviseurs thêta sur une variété abélienne définie sur un corps fini F q . Berthelot, Bloch et EsnaultPlus généralement, Serre a conjecturé que sur une variété abélienne définie sur un corps k, « les motifs de deux diviseurs thêta diffèrent par un multiple du motif de Lefschetz ».Dans cette Note, nous posons une question plus élémentaire :sont-ils congruents modulo la classe L de la droite affine dans l'anneau de Grothendieck K0(Vark) des variétés sur k ? L'existence de produits de courbes elliptiques qui sont des Jacobiennes fournit une surface abélienne E × E qui contient deux diviseurs thêta, l'un Θ provenant de la courbe, et l'autre Θ étant défini par E × 0 + 0 × E . En caractéristique zéro, K0(Vark)/(L) est isomorphe au groupe libre engendré par les classes de variétés projectives, lisses et irréductibles qui sont stablement birationnelles. On en déduit que les classes des deux diviseurs thêta ne sont pas les mêmes dans K0(Vark)/(L). Ceci montre que la réponse à la question est « non » en général.En caractéristique zéro considérons l'homomorphisme χ mot : K0(Vark) → K0(CMk) à valeurs dans l'anneau de Grothendieck des motifs effectifs de Chow sur k, qui envoie la classe d'une variété projective et lisse sur la classe [h(X)] de son motif de Chow. Alors χ mot ([Θ]) − χ mot ([Θ ]) = −[L mot ], où L mot est le motif de Lefschetz. On voit que cet exemple simple vérifie la conjecture de Serre. De façon plus précise, Serre s'attend à ce que la divisibilité soit vérifiée dans le K0 des motifs construits à l'aide de l'équivalence algébrique.

show abstract

Section: A Counterexample On a Product Of Two Elliptic Curvesmentioning

confidence: 67%

Section: A Counterexample On a Product Of Two Elliptic Curvesmentioning

confidence: 99%

A note on congruences for theta divisors

Heinloth

2008

Comptes Rendus. Mathématique

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

“…In [25], Larsen and Lunts have obtained the following very strong result (we give here a slightly different presentation). They work over C. The statement for any field of characteristic 0 is an immediate consequence of Bittner [3], Theorem 3.1.…”

Section: The Work Of Larsen-lunts and Of Bittnermentioning

confidence: 85%

“…, Y n into locally closed subvarieties such that X i is isomorphic to Y i for all i ≤ n. See Definition 2 and Proposition 2), then [X ] = [Y ]. Conversely, the following question is raised by Larsen and Lunts [25], 1.2:…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

The Grothendieck ring of varieties and piecewise isomorphisms

Liu

Sebag

2009

Math. Z.

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

“…If K is of characteristic zero, then (ii) ⇒ (i) follows from the fact that any two smooth projective varieties having the same image in M (K) are stably birational (see [3]). …”

Section: Bymentioning

confidence: 99%

Products of Brauer-Severi surfaces

Hogadi

2008

Proc. Amer. Math. Soc.

View full text Add to dashboard Cite

Let {P i } 1≤i≤r and {Q i } 1≤i≤r be two collections of Brauer-Severi surfaces (resp. conics) over a field k. We show that the subgroup generated by the P i 's in Br(k) is the same as the subgroup generated by the Q i 's if and only if P i is birational to Q i . Moreover in this case P i and Q i represent the same class in M (k), the Grothendieck ring of k-varieties. The converse holds if char(k) = 0. Some of the above implications also hold over a general noetherian base scheme.

show abstract

Motivic Measures and Stable Birational Geometry

Abstract: We study the motivic Grothendieck group of algebraic varieties from the point of view of stable birational geometry. In particular, we obtain a counter-example to a conjecture of M. Kapranov on the rationality of motivic zeta-function.

Cited by 111 publications

References 5 publications

A note on congruences for theta divisors

A note on congruences for theta divisors

The Grothendieck ring of varieties and piecewise isomorphisms

Products of Brauer-Severi surfaces

Contact Info

Product

Resources

About