A note on congruences for theta divisors

Abstract

The classes of two theta divisors on an Abelian variety in the naive Grothendieck ring of varieties need not be congruent modulo the class of the affine line. RésuméUne Note sur les congruences des diviseurs thêta. Dans l'anneau de Grothendieck des variétés, les classes de deux diviseurs thêta d'une même variété abélienne ne sont pas nécessairement congruentes modulo la classe de la droite affine. Soient Θ, Θ deux diviseurs thêta sur une variété abélienne définie sur un corps fini F q . Berthelot, Bloch et EsnaultPlus généralement, Serre a conjecturé que sur une variété abélienne définie sur un corps k, « les motifs de deux diviseurs thêta diffèrent par un multiple du motif de Lefschetz ».Dans cette Note, nous posons une question plus élémentaire :sont-ils congruents modulo la classe L de la droite affine dans l'anneau de Grothendieck K0(Vark) des variétés sur k ? L'existence de produits de courbes elliptiques qui sont des Jacobiennes fournit une surface abélienne E × E qui contient deux diviseurs thêta, l'un Θ provenant de la courbe, et l'autre Θ étant défini par E × 0 + 0 × E . En caractéristique zéro, K0(Vark)/(L) est isomorphe au groupe libre engendré par les classes de variétés projectives, lisses et irréductibles qui sont stablement birationnelles. On en déduit que les classes des deux diviseurs thêta ne sont pas les mêmes dans K0(Vark)/(L). Ceci montre que la réponse à la question est « non » en général.En caractéristique zéro considérons l'homomorphisme χ mot : K0(Vark) → K0(CMk) à valeurs dans l'anneau de Grothendieck des motifs effectifs de Chow sur k, qui envoie la classe d'une variété projective et lisse sur la classe [h(X)] de son motif de Chow. Alors χ mot ([Θ]) − χ mot ([Θ ]) = −[L mot ], où L mot est le motif de Lefschetz. On voit que cet exemple simple vérifie la conjecture de Serre. De façon plus précise, Serre s'attend à ce que la divisibilité soit vérifiée dans le K0 des motifs construits à l'aide de l'équivalence algébrique.