Locally bounded topologies on global fields

Nichols, Elizabeth M.; Cohen, Jo-Ann

doi:10.1215/s0012-7094-77-04438-6

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“…Proof. As Poe has exactly one element (see the proof of Corollary 3 to Theorem 3 of [7]), Corollary 3 follows from Corollary 2.…”

Section: Theorem 1 Let T Be a Hausdorff Locally Bounded Ring Topolomentioning

confidence: 96%

“…If K is a finite dimensional extension of the rational numbers Q, define R, P and P oe as in Section 1. Then R is a Dedekind domain properly contained in K and P oe is a finite set [7,Theorem 1]. In [4], we proved that if P oe has exactly one element then every Hausdorff, nondiscrete, locally bounded topology on R has a fundamental system of neighborhoods of zero consisting of ideals (Theorem 2).…”

Section: Theorem 1 Let T Be a Hausdorff Locally Bounded Ring Topolomentioning

confidence: 99%

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Locally Bounded Topologies on the Ring of Integers of a Global Field

Cohen¹

1981

Can. j. math.

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A subset A of a topological ring R is bounded if given any neighborhood U of zero, there exists a neighborhood V of 0 such that AV ⊆ U and VA ⊆ U. The topology on R is locally bounded if there exists a bounded neighborhood of 0.We recall that a seminorm ‖··‖ on a ring R is a function from R into the non-negative real numbers satisfying ‖x‖ = 0 if x = 0, ‖–x‖ = ‖x‖, ‖x + y‖ ≦ ‖x‖ + ‖y‖ and ‖xy‖ ≦ ‖x‖ ‖y‖ for all x, y in R. A seminorm ‖··‖ on R is a norm on R if ‖x‖ = 0 implies x = 0. We note that a seminorm ‖··‖ on R defines a locally bounded topology on R, and a norm on R defines a Hausdorff, locally bounded topology on R. Two norms on R are said to be equivalent if they define the same topology on R.

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“…Proof. As Poe has exactly one element (see the proof of Corollary 3 to Theorem 3 of [7]), Corollary 3 follows from Corollary 2.…”

Section: Theorem 1 Let T Be a Hausdorff Locally Bounded Ring Topolomentioning

confidence: 96%

Section: Theorem 1 Let T Be a Hausdorff Locally Bounded Ring Topolomentioning

confidence: 99%

Locally Bounded Topologies on the Ring of Integers of a Global Field

Cohen¹

1981

Can. j. math.

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“…A subset 7 of a field K is an almost order of K if (1) 0, 16 7, (2) -IQ 7, (3) 77S 7, (4) there exists a nonzero element h in 7 such that h(I + 7) £ 7, and (5) In [7] we investigated locally bounded topologies on the quotient fields of certain Dedekind domains. We recall the results of that paper.…”

Section: * Locally Bounded Topologies On F(x)mentioning

confidence: 99%

“…COROLLARY [7,Corollary 4]. If F is a finite field and J7~ is a Hausdorff, nondiscrete, locally bounded topology on F(X), then there exists a nonempty, proper subset S of ^' such that…”

Section: * Locally Bounded Topologies On F(x)mentioning

confidence: 99%

The strong approximation theorem and locally bounded topologies onF(X)

Cohen¹

1980

Pacific J. Math.

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“…Fast gleichzeitig, im Dezember 1977, erschien die Arbeit [9] von Nichols und Cohen; in [9] wird gezeigt, dab Rir spezielle globale K6rper jede lokalbeschr~inkte Ringtopologie vom Typ @(S) ist; ob Entsprechendes ffir beliebige globale KSrper gilt, bleibt in [9] ungelSst. Osterreichischen Mathematikerkongresses in Salzburg vorgetragen.…”

Section: H Weberunclassified

Charakterisierung der lokalbeschr�nkten Ringtopologien auf globalen K�rpern

Weber

1979

Math. Ann.

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O. EinleitungDas Hauptergebnis dieser Arbeit ist der Satz (3.3) (s. Abschn. 3), dab die einzigen lokalbeschr~inkten, nicht diskreten Ringtopologien auf einem globalen K/Srper K die Topologien O(S), S~So, sind, wenn S O ein volles Repr~isentantensystem yon Bewertungen auf K ist. Zur Erl~iuterung der benutzten Begriffe und Bezeichnungen: Eine Teilmenge M eines topologischen Ringes R heil3t linksbeschriJnkt (rechtsbeschriinkt, beschri~nkt), wenn es zu jeder Nullumgebung U in R eine Nullumgebung V in R gibt mit M.VCU (V.MCU, M.VuV.MCU); R heil3t lokallinksbeschriinkt (lokalbe-schr~nkt), wenn R eine linksbeschrankte (beschr~inkte) Nullumgebung besitzt. Ist flit eine Menge S yon Bewertungen eines K6rpers K (a.O(S))~K\to~mit O(S) : = {x • K : Vtp • S tp(x)___< 1 } -eine NullumgebungsbasJs einer Ringtopologie, so bezeichnen wir diese rnit (D(S); (D(S) ist dann natiJrlich lokalbeschrankt. Das Problem zur Bestimmung s~imtlicher lokalbeschr~inkten Ringtopologien auf dem rationalen Zahlk6rper Q wurde u.a. von Endo [1, S. 17] und Zobet [16, S. 20] genannt ; vgl. auch [6, S. 185]. Fiir Q wurde das Problem in [13] bzw. durch die Ergebnisse aus [7] und [11] gel/Sst. Kiltinen fragte in [3, S. 36] nach der Anzahl der lokalbeschr~inkten Ringtopologien auf ~ bzw. auf einer einfachen transzendenten Erweiterung eines K/Srpers yon Primzahlordnung. Wie in [15] gezeigt wird, sind die globalen K6rper die einzigen KSrper, ftir die ein (3.3) entsprechender Satz gilt, fiir die alsojede lokalbeschr~inkte, nicht diskrete Ringtopologie vom Typ II)(S) ist. Wohl l~ifAt sich ein fiir den Beweis yon (3.3) wichtiger Zwischenschritt noch ffir beliebige K/Srper K beweisen : FOr eine Menge yon Bewertungen auf K sind unter gewissen Voraussetzungen ~)(S'), S' C S, die einzigen lokalbeschr~inkten Ringtopologien auf K, die gr6ber ats (1)(S) sind (s. Satz (2.3), Abschn. 2). Diese Voraussetzungen sind auf Grund bekannter S~itze fiir globale K/Srper bei geeignetem S erffillt. In Abschn. 1 ergibt sich bei der Untersuchung der Topologien (D(S) noch eine einfache und recht allgemeine Bedingung f'fir das ErfiiUtsein dieser Voraussetzung.

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Locally bounded topologies on global fields

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Locally Bounded Topologies on the Ring of Integers of a Global Field

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The strong approximation theorem and locally bounded topologies onF(X)

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