O. EinleitungDas Hauptergebnis dieser Arbeit ist der Satz (3.3) (s. Abschn. 3), dab die einzigen lokalbeschr~inkten, nicht diskreten Ringtopologien auf einem globalen K/Srper K die Topologien O(S), S~So, sind, wenn S O ein volles Repr~isentantensystem yon Bewertungen auf K ist. Zur Erl~iuterung der benutzten Begriffe und Bezeichnungen: Eine Teilmenge M eines topologischen Ringes R heil3t linksbeschriJnkt (rechtsbeschriinkt, beschri~nkt), wenn es zu jeder Nullumgebung U in R eine Nullumgebung V in R gibt mit M.VCU (V.MCU, M.VuV.MCU); R heil3t lokallinksbeschriinkt (lokalbe-schr~nkt), wenn R eine linksbeschrankte (beschr~inkte) Nullumgebung besitzt. Ist flit eine Menge S yon Bewertungen eines K6rpers K (a.O(S))~K\to~mit O(S) : = {x • K : Vtp • S tp(x)___< 1 } -eine NullumgebungsbasJs einer Ringtopologie, so bezeichnen wir diese rnit (D(S); (D(S) ist dann natiJrlich lokalbeschrankt. Das Problem zur Bestimmung s~imtlicher lokalbeschr~inkten Ringtopologien auf dem rationalen Zahlk6rper Q wurde u.a. von Endo [1, S. 17] und Zobet [16, S. 20] genannt ; vgl. auch [6, S. 185]. Fiir Q wurde das Problem in [13] bzw. durch die Ergebnisse aus [7] und [11] gel/Sst. Kiltinen fragte in [3, S. 36] nach der Anzahl der lokalbeschr~inkten Ringtopologien auf ~ bzw. auf einer einfachen transzendenten Erweiterung eines K/Srpers yon Primzahlordnung. Wie in [15] gezeigt wird, sind die globalen K6rper die einzigen KSrper, ftir die ein (3.3) entsprechender Satz gilt, fiir die alsojede lokalbeschr~inkte, nicht diskrete Ringtopologie vom Typ II)(S) ist. Wohl l~ifAt sich ein fiir den Beweis yon (3.3) wichtiger Zwischenschritt noch ffir beliebige K/Srper K beweisen : FOr eine Menge yon Bewertungen auf K sind unter gewissen Voraussetzungen ~)(S'), S' C S, die einzigen lokalbeschr~inkten Ringtopologien auf K, die gr6ber ats (1)(S) sind (s. Satz (2.3), Abschn. 2). Diese Voraussetzungen sind auf Grund bekannter S~itze fiir globale K/Srper bei geeignetem S erffillt. In Abschn. 1 ergibt sich bei der Untersuchung der Topologien (D(S) noch eine einfache und recht allgemeine Bedingung f'fir das ErfiiUtsein dieser Voraussetzung.