Charakterisierung der lokalbeschr�nkten Ringtopologien auf globalen K�rpern

Abstract

O. EinleitungDas Hauptergebnis dieser Arbeit ist der Satz (3.3) (s. Abschn. 3), dab die einzigen lokalbeschr~inkten, nicht diskreten Ringtopologien auf einem globalen K/Srper K die Topologien O(S), S~So, sind, wenn S O ein volles Repr~isentantensystem yon Bewertungen auf K ist. Zur Erl~iuterung der benutzten Begriffe und Bezeichnungen: Eine Teilmenge M eines topologischen Ringes R heil3t linksbeschriJnkt (rechtsbeschriinkt, beschri~nkt), wenn es zu jeder Nullumgebung U in R eine Nullumgebung V in R gibt mit M.VCU (V.MCU, M.VuV.MCU); R heil3t lokallinksbeschriinkt (lokalbe-schr~nkt), wenn R eine linksbeschrankte (beschr~inkte) Nullumgebung besitzt. Ist flit eine Menge S yon Bewertungen eines K6rpers K (a.O(S))~K\to~mit O(S) : = {x • K : Vtp • S tp(x)___< 1 } -eine NullumgebungsbasJs einer Ringtopologie, so bezeichnen wir diese rnit (D(S); (D(S) ist dann natiJrlich lokalbeschrankt. Das Problem zur Bestimmung s~imtlicher lokalbeschr~inkten Ringtopologien auf dem rationalen Zahlk6rper Q wurde u.a. von Endo [1, S. 17] und Zobet [16, S. 20] genannt ; vgl. auch [6, S. 185]. Fiir Q wurde das Problem in [13] bzw. durch die Ergebnisse aus [7] und [11] gel/Sst. Kiltinen fragte in [3, S. 36] nach der Anzahl der lokalbeschr~inkten Ringtopologien auf ~ bzw. auf einer einfachen transzendenten Erweiterung eines K/Srpers yon Primzahlordnung. Wie in [15] gezeigt wird, sind die globalen K6rper die einzigen KSrper, ftir die ein (3.3) entsprechender Satz gilt, fiir die alsojede lokalbeschr~inkte, nicht diskrete Ringtopologie vom Typ II)(S) ist. Wohl l~ifAt sich ein fiir den Beweis yon (3.3) wichtiger Zwischenschritt noch ffir beliebige K/Srper K beweisen : FOr eine Menge yon Bewertungen auf K sind unter gewissen Voraussetzungen ~)(S'), S' C S, die einzigen lokalbeschr~inkten Ringtopologien auf K, die gr6ber ats (1)(S) sind (s. Satz (2.3), Abschn. 2). Diese Voraussetzungen sind auf Grund bekannter S~itze fiir globale K/Srper bei geeignetem S erffillt. In Abschn. 1 ergibt sich bei der Untersuchung der Topologien (D(S) noch eine einfache und recht allgemeine Bedingung f'fir das ErfiiUtsein dieser Voraussetzung.

Topologies on the ring of integers of a global field

“…Let H be a T-bounded neighborhood of zero such that H is a proper almost order of K. Let f be the unique Hausdorff, nondiscrete, locally bounded topology on K for which H is a bounded neighborhood of zero. (We note that f \ R 2 T.) By Lemma 2, O(Pco) Π Z is Γ-bounded and hence by [11,Theorem 3.3;13,Theorem 4.4] Therefore, P U S' is a proper subset of P' as O(S') is an almost order of K and so by replacing S' with P U S', we may assume that S' is a nonempty, proper subset of P' and P Q S'. Consequently, the set S defined by, S = S' Π Pco, is a proper subset of Poo.…”

“…Therefore, if T is a locally bounded topology on the ring of integers of an algebraic number field, then O(Poo) Π Z is bounded for T. We note further that if K is an algebraic function field, then O(Poo) Π Z is the field F of constants. Weber proved that if f is any Hausdorff, nondiscrete, locally bounded topology on a global field K for which O(Pco) Π Z is bounded, then there exists a nonempty, proper subset S of P' such that f is the topology defined by the almost order O(S) [11,Theorem 3.3 and 13,Theorem 4.4]. (S must be a proper subset of P'.…”

“…A description of the locally bounded topologies on the ring of integers of Q{V-d) where d is a positive, squarefree integer was obtained by Wieslaw [14]. In this paper we use Weber's description of the locally bounded topologies on global fields ( [11,Theorem 3.3] and [13,Theorem 4.4]) to characterize all the locally bounded topologies on the ring of integers of an algebraic number field and also those on the integral closure of F [x] in K for which the subfield F is bounded where K is an algebraic function field. The results of Weber [12], Mahler [7], and Wieslaw [14] are a 270 JO-ANN COHEN consequence of this characterization.…”

The tree of primes in a field

“…To reveal this mystery, attempts have been made to elaborate on the concept of "prime" in a field [6,7,5,13]. In the present paper, we give a new definition, partly anticipated by Krull [7], which might also shed some more light upon the distinction between finite and infinite primes of an algebraic number field.…”

On the number of locally bounded field topologies

“…1 follows from Theorems 1.8 and 3.3 of [7], We may therefore assume that I® | is nonzero and countable. Thus |F|= N0 and so there exist at most 2N° locally bounded ring topologies on F. Moreover, there exists a subfield EQ of F and a transcendental element x over EQ such that F is an algebraic extension of E0(x).…”