Limites in Kategorien von Relationalsystemen

Abstract

Zeitschr. 1. d h . Leg% und (hundlagen d . Math. Bd. 17, S. 75-90 (1971) LIMITES IN KATEGORIEN VON RELATIONALSYSTEMEN von MICHAEL RICHTER in Freiburg i. Br.l) In der Modelltheorie sind verschiedene Konstruktionen bekannt, um aus gegebeaen Relationalsystemen neue zu erzeugen. Meistens werden die erzeugten Relationalsysteme dadurch definiert, daB man die Triigermenge bestimmt und festlegt, wann Elemente in einer der Relationen stehen. Einige Begriffsbildungen, wie Limites und Produkte, sind eigentlich kategorialer Natur. Macht man die Klasse Ja aller Relationalsysteme zu einer Kategorie a,, indem man als Morphismen noch siimtliche Homomorphismen hinzunimmt, dann sind die explizit definierten gerichteten Limites (hier auch ,,kanonische" genannt) und direkten Produkte gerade Limites und Produkte in der Kategorie 9, ; leider existiert fur Ultraprodukte eine kategoriale Kennzeichnung bisher noch nicht. Wenn K eine beliebige Klasse von Relationalsystemen ist, dann definiert K eine volle Subkategorie aK von 9,. Limites mussen in solchen Kategorien nicht notwendig existieren (wiihrend jedenfalls gerichtete Limites in 9, immer existieren) , auBerdem konnen die kanonischen Limites von den in ex genommen verschieden sein. In dieser Arbeit werden fur spezielle Klassen K , insbesondere fur axiomatische Klassen K , gerichtete Limites in RK untersucht und Zusammenhiinge zwischen solchen Limites und Ultraprodukten behandelt. Dabei werden systematisch kategoriale Begriffsbildungen verwendet , eine zentrale Rolle spielt auch der Ultraprodukt-bzw. Ultrapotenzfunktor, der zum Ultraprodukt bzw. zur Ultrapotenz genau wie der Produkt-bzw. Potenzfunktor zum direkten Produkt bzw. zur direkten Potenz erklart ist. In 9 0 werden einige Grundbegriffe zusammengestellt, bei den kategorialen Begriffen wird auf Lehrbucher wie MITCHELL [13] und PREYD [S] verwiesen. Das Hauptergebnis des ersten Abschnitts ist, daD fur axiomatische Klassen K die in .QK genommenen gerichteten direkten Limites gerade die kanonischen Limites sind. Der Grund hierfur ist, daB eine axiomatische Klasse hinreichend viele kanonische Limites enthiilt, niimlich alle Ultralimites, auf die sich die anderen Limites zuruckfuhren Iassen. Im zweiten Abschnitt wird versucht, gerichtete inverse Limites mit iihnlichen Methoden wie in 8 1 zu behandeln. Leider sind schon Durchschnitte in der Modelltheorie schlechter zu erfassen als Vereinigungen, erst recht gilt dies fur das Verhiiltnis von inversen zu direkten Limites ; deshalb werden nur spezielle inverse Systeme behandelt. Die zusatzlichen Voraussetzungen, die verlangt werden, sind bei direkten Limites erfullt.8 0. Es wird eine axiomatische Mengenlehre, etwa nach NETTMANN-BERNAYS-GODEL, vgl. GODEL [7], zugrunde gelegt, das Auswahlaxiom wird generell'vorausgesetzt. Sei L eine Kategorie, (I, 5 ) eine nach oben (bzw. nach unten) gerichtete ~~~ I) Die Arbeit enthiilt Teile der Dissertation des Verfassers an der Universitat Freiburg i. Br.

On the Axiomatisability of the Dual of Compact Ordered Spaces

“…In fact, they show that there exists no faithful functor KH op → Set which preserves directed colimits. Since directed colimits in elementary classes are concrete [20], the preceding statement follows. This implies that KH op ≤ is not equivalent to any elementary class of structures.…”

Characterizations of Axiomatic Categories of Models Canonically Isomorphic to (Quasi-)Varieties

“…For (g) => (f), we had to show that there exists a finitary language permitting this. We could have deduced it from the result of Richter [14] mentioned in the introduction, but we preferred the more direct and elementary proof (of (g) => (c) ) given.…”

“…Here, "canonical" means that the underlying functions and sets are preserved by the isomorphism. Note that the above characterizations, combined with the fact that the forgetful functor for a category of models (for a finitary language) preserves filtered colimits (proved in [14] ), give clues for an algebraic answer to our question. From these and with the help of several results in [15], we will find syntactical characterizations of these situations.…”

A Characteristic Direct Limit Property

“…a certain new structure M which we will call the canonical direct limit of A , following M. RICHTER'S denotation (cf. [3]). The P-stability of T then guarantees that M is in !…”

“…J X T ,~. An explicit description of such a canonical direct limit is given, for example, in FITTLER [I], 10, and in RICHTER [3] for a special inductive set F and in KEISLER [2], IV. for linearly ordered systems A .…”