Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function

Davis, Philip J.

doi:10.1080/00029890.1959.11989422

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“…The gamma function is the extension of the factorial function to non-integers, and satisfies the fundamental properties γ(n) = (n − 1)! for positive integers and Γ(x + 1) = xΓ(x) for all x [27]. While the derivation of the expectation in [26] depends on the Pochmann symbol, this result can alternatively be derived using an integral representation of the beta function, as shown in Appendix I.…”

Section: Random Vector Quantizationmentioning

confidence: 99%

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MIMO broadcast channels with finite rate feedback

Jindal

2005

GLOBECOM '05. IEEE Global Telecommunications Conference, 2005.

121

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Multiple transmit antennas in a downlink channel can provide tremendous capacity (i.e. multiplexing) gains, even when receivers have only single antennas. However, receiver and transmitter channel state information is generally required. In this paper, a system where each receiver has perfect channel knowledge, but the transmitter only receives quantized information regarding the channel instantiation is analyzed. The well known zero forcing transmission technique is considered, and simple expressions for the throughput degradation due to finite rate feedback are derived. A key finding is that the feedback rate per mobile must be increased linearly with the SNR (in dB) in order to achieve the full multiplexing gain, which is in sharp contrast to point-to-point MIMO systems in which it is not necessary to increase the feedback rate as a function of the SNR.

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Section: Random Vector Quantizationmentioning

confidence: 99%

“…Γ(x+y) [27]. The gamma function is the extension of the factorial function to non-integers, and satisfies the fundamental properties γ(n) = (n − 1)!…”

Section: Random Vector Quantizationmentioning

confidence: 99%

MIMO broadcast channels with finite rate feedback

Jindal

2005

GLOBECOM '05. IEEE Global Telecommunications Conference, 2005.

121

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“…The history and the development of this function are described in detail in a paper by P. J. Davis [10]. There exists a very extensive literature on the gamma function.…”

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On some inequalities for the gamma and psi functions

1997

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“…La relación (2.4) es conocida como la fórmula de Euler, pues esél quien la establece por primera vez en 1729 en una carta enviada a Goldbach [7,8,9]. PROPOSICIÓN 2.5.…”

Section: La Fórmula De Eulerunclassified

The Gamma Function: basic properties and some applications

Gonzales

Bohórquez

2017

Sel.mat

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El objetivo del presente trabajo es estudiar algunas propiedades y aplicaciones de la función Gamma, denotada por Γ. Inicialmente, se utiliza la teoría de la integral de Lebesgue para demostrar que la integral impropia, dada por Γ es convergente. Después de esto, no solo se describe la extensión del dominio de Γ sino también se deducen algunas propiedades elementales. Se presentan dos maneras de probar que B(x, y) = Γ(x)Γ(y) Γ(x+y) , donde B es la función Beta. Finalmente se incluyen algunas aplicaciones de la función Gamma como herramientaútil en la ingeniería de confiabilidad.Palabras clave. Integral de Lebesgue, función Gamma, función Beta, convolución, distribución continua. AbstractThe goal of the present work is to study some properties and applications of the Gamma Function, denoted by Γ. Initially, we use the Lebesgue Integral Theory in order to prove that the improper integral given by Γ is convergent. We describe the extended domain property of Γ, and we also deduce some elementary properties. We present two different ways of proving that B(x, y) = Γ(x)Γ(y) Γ(x+y) , where B is the Beta Function. Finally, we include some applications of the Gamma Function, between them some serve up as tools on Reliability Engineering.Keywords. Lebesgue Integral, Gamma Function, Beta Function, Convolution, Continuous Distribution.1. Introducción. La matemática es una disciplina básica y esencial en la educación y el adiestramiento del ingeniero, la misma que contribuye a la formación del pensamiento crítico, productivo, creador y científico del profesional. En tal sentido, en el presente artículo se estudian y describen algunas propiedades elementales de la conocida función Gamma [7,5,1], la cual está definida en una parte de los números reales por medio de la siguiente identidad(definición 2.1). Para esta importante integral impropia [2], se incluyen los siguientes tres resultados: inicialmente se justifica adecuadamente su existencia (sección 2.1), se demuestra su continuidad, con respecto a x (sección 2.2) y se obtienen algunas de sus propiedades básicas (sección 2.3 -sección 2.5). Como complemento de estos resultados fundamentales, se presentan dos formas diferentes de demostrar la igualdad B(x, y) = Γ(x)Γ(y) Γ(x + y) , donde B(x, y) = 1 0 t x−1 (1 − t) y−1 dt es la función Beta (sección 2.6). Como corolario se exhiben algunas aplicaciones de Γ a la ingeniería (sección 3). En las aplicaciones que expone el presente artículo está la deducción de la fórmula para obtener el volumen de una 'esfera' en R n (sección 3.1) y como consecuencia se encuentra otra fórmula para la integral π 2 0 sen n (t)dt, ∀n ∈ N (Corolario 3.1). En laúltima parte de la tercera sección se presentan algunas distribuciones continuas -como la distribución gamma, exponencial, Erlang, Weibull, entre otras -que ponen de manifiesto la fuerza de la teoría en elárea de

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Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function

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MIMO broadcast channels with finite rate feedback

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