Lagrange's Theorem and Integrality for Finite Commutative Hypergroups with Applications to Strongly Regular Graphs

Abstract

We introduce a notion of integrality, or resonance, for finite commutative hypergroups and their generalizations, signed hypergroups. Lagrange's theorem for subhypergroups is established using a condition of integrality of weights for the dual signed hypergroup. Order three hypergroups are studied and resonant ones whose duals have integral weights are classified. Applications are given to the theory of strongly regular graphs. ᮊ

Untitled

“…On the other hand, the existence of hypergroups satisfying the conditions of the above lemma has been demonstrated in [9]; in fact, in that example, we have (see the Table ( . We thus see that it can happen that a finite hypergroup admits a continuum of pairwise inequivalent irreducible *-actions.…”

Линейная Деформация Дискретных Групп И Конструкции Многозначных Групп

“…Групповые алгебры инволютивных конечных многозначных групп являются ча стными случаями гипергрупп (см. определения и библиографию в [13]), а также табличных алгебр (см. [7]).…”

“…По добные объекты изучаются под разными названиями: С-алгебры, табличные ал гебры, гипергруппы. Например, частные случаи серии линейных деформаций Z3 встречаются: при V = W = 0 -в [2], при U = V, W = 0 -в [3], [7], [12], [13]; сре ди групповых алгебр этой серии имеется алгебра Боуза-Меснера турнира Пэли (впервые это обнаружено в работе [3]). Серия U = V, U + V + 2W = 1 с перенор мированным базисом приведена в [7].…”

“…В работе [13] Рассмотрим эпиморфизм р: Ъ -> Ъ ш такой, что p(q) = t, где q -число из утверждения леммы 6. Пусть коцикл V Е Z 2 (Z rn ,W) удовлетворяет условию L(u,v) = L'(р(и),p(v)) (такой коцикл существует в силу переодичности коцик ла L).…”

“…ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Каждому элементу а группы А с косет-реализацией G/H, Н Е Aut(G), можно сопоставить число, равное количеству элементов группы G в соответствующей а орбите действия группы Н. Мощностью группы А назовем порядок группы G. Число т(а) назовем мощностью элемента а.Таким образом, мощность является аналогом понятия веса в теории гипер групп (см [13]…”