Investigation of Forced Oscillations of a Duffing Oscillator With a Variable Fractional Order Derivative

Abstract

3 Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга 683032, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4 E-mail: kamgu.ru 4 Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН 684034, Камчатский край, Елизовский район, с. Паратунка, ул. Мирная, 7 E-mail: www.ikir.ru В работе проведено исследование математической модели осциллятора типа Дуффинга с производной переменного дробного порядка Римана-Лиувилля. С помощью метода гармонического баланса были найдены алгоритмы построения амплитудно-фазовых характеристик. Были построены, амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики. Показана обратная зависимость добротности от порядка дробной производной. Построены поверхности добротности в зависимости от частоты и амплитуды. Ключевые слова: производная Римана-Лиувилля, производная Грюнвальда-Летникова, осциллограммы, фазовые траектории, амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), фазо-частотная характеристика (ФЧХ).

Mathematical Model of Fractional Duffing Oscillator with Variable Memory

“…Consider the dependence of the amplitude A and phase ϕ of steady-state oscillations for operator (1) on the frequency of the external force. To calculate the frequency response and frequency response, we use the harmonic linearization method [21][22][23].…”

“…In the case of steady oscillations at large times t (t → ∞), the integrals ( 12) can be written in the form [23]:…”

“…The Q-factor for a fractional Duffing oscillator can be determined from Equation ( 16) using the formula [21,23]…”

Implicit Finite-Difference Scheme for a Duffing Oscillator with a Derivative of Variable Fractional Order of the Riemann-Liouville Type

“…For an explicit scheme, the issues of stability and convergence of [39] are theoretically justified. In the works [40,41], the properties of forced oscillations of a Duffing oscillator with a fractional derivative of variable order of the Riemann-Liouville type are investigated using amplitude-frequency (AFC), phase-frequency characteristics (PFC) and Q-factor. It turned out that the order of the fractional derivative affects the rate of attenuation of oscillations.…”

“…Moreover, unlike the explicit scheme, the stability and convergence of the implicit one does not depend on the constraints on the step of the dishonest grid. In this article, by analogy with the works [35,37,[39][40][41], an implicit finitedifference scheme for solving the Duffing equation with a fractional derivative of variable order of the Riemann-Liouville type is investigated, the issues of stability and convergence of the numerical scheme are substantiated, and chaotic regimes and bistability of oscillations are investigated.…”