Implicit finite-difference scheme for a Duffing oscillator with a derivative of variable fractional order of the RiemannLiouville type

Abstract

В статье рассматривается неявная конечно-разностная схема для уравнения Дуффинга с производной дробного переменного порядка типа Римана-Лиувилля. Рассматриваются вопросы устойчивости и сходимости неявной конечно-разностной схемы. Для обоснования теоретических результатов приводятся тестовые примеры. С помощью правила Рунге сравниваются результаты работы неявной схемы с результатами явной схемы. Построены фазовые траектории и осциллограммы для осциллятора Дуффинга с дробной производной переменного порядка типа Римана-Лиувилля, с помощью спектра максимальных показателей Ляпунова и сечений Пуанкаре детектируются хаотические режимы. Построены поверхности добротности, амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик для исследования вынужденных колебаний. Результаты исследования показали, что неявная конечно-разностная схема показывает более точные результаты, чем явная. The article considers an implicit finite-difference scheme for the Duffing equation with a derivative of a fractional variable order of the Riemann-Liouville type. The issues of stability and convergence of an implicit finite-difference scheme are considered. Test examples are given to substantiate the theoretical results. Using the Runge rule, the results of the implicit scheme are compared with the results of the explicit scheme. Phase trajectories and oscillograms for a Duffing oscillator with a fractional derivative of variable order of the Riemann-Liouville type are constructed, chaotic modes are detected using the spectrum of maximum Lyapunov exponents and Poincare sections. Q-factor surfaces, amplitude-frequency and phase-frequency characteristics are constructed for the study of forced oscillations. The results of the study showed that the implicit finite-difference scheme shows more accurate results than the explicit one.