Interaction between the Fourier transform and the Hilbert transform

Abstract

Well-known and recently observed situations where the two main transforms in harmonic analysis, the Fourier transform and the Hilbert transform, show their adjacency and interplay in a specific interesting manner are overviewed. Some relations of that kind are new, while in other cases well-known formulas are considered in a different setting.

Asymptotics of the Fourier Sine Transform of a Function of Bounded Variation

“…В работах [4] и [5] показано, что принадлежность производной функции ограниченной вариации пространству Харди совсем не является необходимым, а условия интегрируемости преобразования Фурье простираются далеко за эти пределы. Но это совсем другая история, начало которой положено, а детальное изучение еще предстоит.…”

“…Нетрудно заметить (см. [4] и [5]), что первая часть теоремы, для которой в [7] потребовалась ровно та же громоздкая техника, что и для второй, может быть доказана мгновенно. Для этого нужно лишь проинтегрировать по частям и для ̂︀ 𝑓 ′ 𝑠 (𝑥)/𝑥 воспользоваться известным неравенством Харди (см., например, [14; (7.24)…”