Homotopy invariants of Gauss words

Gibson, Arthur

doi:10.1007/s00208-010-0536-0

Cited by 23 publications

(23 citation statements)

References 10 publications

Supporting

Mentioning

Contrasting

Unclassified

Order By: Relevance

“…Examples of nontrivial free knots were independently (a little later) obtained by Gibson in [67]. Moreover, due to this theorem, one can construct infinitely many odd irreducible free knots whose minimal diagrams differ from each other.…”

Section: Parity In Knot Theorymentioning

confidence: 95%

See 1 more Smart Citation

Parity in knot theory and graph-links

2013

View full text Add to dashboard Cite

The present monograph is devoted to low-dimensional topology in the context of two thriving theories: parity theory and theory of graph-links, the latter being an important generalization of virtual knot theory constructed by means of intersection graphs. Parity theory discovered by the second-named author leads to a new perspective in virtual knot theory, the theory of cobordisms in two-dimensional surfaces, and other new domains of topology. Theory of graph-links highlights a new combinatorial approach to knot theory.

show abstract

Section: Parity In Knot Theorymentioning

confidence: 95%

“…Note that free knots and links are also called homotopy classes of Gauss words and phrases (first suggested by Turaev, see [67,215,216]). This is due to the fact that the Gauss diagrams can be encoded by words (see Sec.…”

Section: Parity In Knot Theorymentioning

confidence: 99%

Parity in knot theory and graph-links

2013

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

“…Параллельно и независимо (несколько позднее) примеры нетривиальных сво-бодных узлов были получены Э. Гибсоном в работе [11].…”

Section: § 1 введениеunclassified

Четность В Теории Узлов

Manturov¹

2010

Матем. сб.

View full text Add to dashboard Cite

Четность в теории узловВ работе исследуются теории узлов, обладающие свойством четности перекрестков: каждый перекресток объявляется четным или нечетным со-гласно некоторому наперед заданному правилу. Если это правило удовле-творяет набору простых аксиом, связанных с движениями Рейдемейстера, это приводит к возможности построения простых инвариантов, решающих проблему минимальности, а также инвариантных отображений на множе-стве узлов.Самым главным примером теории узлов с четностью является теория виртуальных узлов. С использованием четности, происходящей из гауссо-вых диаграмм, мы показываем, что даже резкое упрощение теории вир-туальных узлов -теория свободных узлов -допускает простые и глубоко нетривиальные инварианты, что является решением проблемы Тураева, предположившего, что все свободные узлы тривиальны.В работе доказывается, что свободные узлы, вообще говоря, не обра-тимы, и приводятся инварианты, распознающие обратимость свободных узлов.Переход к обычным виртуальным узлам позволяет усиливать извест-ные инварианты (такие, как скобка Кауфмана) посредством соображений, связанных с четностью.Обсуждаются другие примеры теорий узлов с четностью. Библиография: 27 названий.Ключевые слова: узел, зацепление, граф, атом, виртуальный узел, четность, скобка Кауфмана, минимальность. § 1. Введение Как известно со времен К. Гаусса, узел можно кодировать хордовой диаграм-мой с некоторой дополнительной информацией. Рассматривая диаграмму узла как погружение окружности в плоскость и соединяя на окружности хордами те точки, которые имеют одинаковые образы, мы получаем хордовую диаграмму. Гауссовой диаграммой называется хордовая диаграмма, снабженная дополни-тельной информацией: указанием на хорде знака перекрестка (плюс для и минус для ), а также стрелкой, направленной от прообраза дуги, образующей переход, к прообразу дуги, образующей проход.Скажем, что две хорды зацеплены, если концы одной из них лежат в разных компонентах связности множества, полученного удалением из окружности кон-цов другой. Назовем хорду четной, если количество хорд, зацепленных с ней, Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных ис-следований (грант № 07-01-00648) и Аналитической ведомственной целевой программы "Раз-витие научного потенциала высшей школы". четно, и нечетной в противном случае (считается, что хорда не зацеплена са-ма с собой). Далее для хорд a, b будем писать ⟨a, b⟩ = 0 ∈ Z 2 , если a, b не зацеплены, и ⟨a, b⟩ = 1 ∈ Z 2 , если они зацеплены.Как было замечено Гауссом, все хорды гауссовой диаграммы классического узла четные.Движения Рейдемейстера для диаграмм классических узлов естественным образом переписываются на языке гауссовых диаграмм. При этом не всякая гауссова диаграмма реализует классический узел. В частности, к таким нере-ализуемым диаграммам относятся диаграммы, имеющие нечетные хорды.Виртуальный узел (см.[1]) возникает как естественное обобщение класси-ческого узла. Это класс эквивалентности произвольных гауссовых диаграмм по формальным движениями Рейдемейстера. Оказывается, наличие нечетных ...

show abstract

“…Free knots were introduced by Turaev [21] under the name of homotopy classes of Gaussian words. In this same paper he put forward the conjecture that free knots are trivial; this was first refuted by the author in [14] and later by Gibson in [7].…”

Section: Introduction Basic Conceptsmentioning

confidence: 98%

Parity, free knots, groups, and invariants of finite type

Manturov

2011

Trans. Moscow Math. Soc.

View full text Add to dashboard Cite

Abstract. In this paper, on the basis of the notion of parity introduced recently by the author, for each positive integer m we construct invariants of long virtual knots with values in some simply defined group G m ; conjugacy classes of this group play a role as invariants of compact virtual knots. By construction, each of the invariants is unaltered by the move of virtualization. Factorization of the group algebra of the corresponding group leads to invariants of finite order of (long) virtual knots that do not change under virtualization.The central notion used in the construction of the invariants is parity: the crossings of diagrams of free knots is endowed with an additional structure -each crossing is declared to be even or odd, where even crossings behave regularly under Reidemeister moves.

show abstract

Homotopy invariants of Gauss words

Cited by 23 publications

References 10 publications

Parity in knot theory and graph-links

Parity in knot theory and graph-links

Четность В Теории Узлов

Parity, free knots, groups, and invariants of finite type

Contact Info

Product

Resources

About