Homogeneous systems with quadratic integrals, Lie-Poisson quasibrackets, and Kovalevskaya's method

Abstract

Рассматриваются дифференциальные уравнения с квадратичными правыми частями, допускающие два квадратичных первых интеграла, один из которых - положительно определенная квадратичная форма. Указаны условия общего характера, при которых линейной заменой переменных эта система приводится к некоторому "каноническому" виду. При этих условиях система оказывается бездивергентной и приводится к гамильтоновой форме, однако соответствующая линейная скобка Ли-Пуассона не всегда удовлетворяет тождеству Якоби. В трехмерном случае уравнения приводятся к классическим уравнениям волчка Эйлера, а в четырехмерном пространстве система оказывается суперинтегрируемой и совпадает с уравнениями Эйлера-Пуанкаре на некоторой алгебре Ли. В пятимерном случае найден приводящий множитель, после умножения на который скобка Пуассона удовлетворяет тождеству Якоби. В общем случае при $n>5$ доказано отсутствие приводящего множителя. В качестве примера рассмотрена система типа Лотки-Вольтерра с квадратичными правыми частями, изучавшаяся еще Ковалевской с точки зрения условий однозначности ее решений как функций комплексного времени. Библиография: 38 названий.

The Hojman Construction and Hamiltonization of Nonholonomic Systems

“…There are various well-known obstructions to Hamiltonization, which are examined in detail in [7] (see also [5]). This problem has several aspects: local, semilocal, and global.…”