Hitchin Systems ? Symplectic Hecke Correspondence and Two-Dimensional Version

Abstract

The aim of this paper is two-fold. First, we define symplectic maps between Hitchin systems related to holomorphic bundles of different degrees. We call these maps the Symplectic Hecke Correspondence (SHC) of the corresponding Higgs bundles. They are constructed by means of the Hecke correspondence of the underlying holomorphic bundles. SHC allows to construct Bäcklund transformations in the Hitchin systems defined over Riemann curves with marked points. We apply the general scheme to the elliptic Calogero-Moser (CM) system and construct SHC to an integrable SL(N, C) Euler-Arnold top (the elliptic SL(N, C)-rotator). Next, we propose a generalization of the Hitchin approach to 2d integrable theories related to the Higgs bundles of infinite rank. The main example is an integrable two-dimensional version of the two-body elliptic CM system. The previous construction allows to define SHC between the two-dimensional elliptic CM system and the Landau-Lifshitz equation.

Classification of isomonodromy problems on elliptic curves

“…решения этих урав-нений были найдены в [61]. На редуцированном пространстве P red уравнения движения, отвечающие гамильтонианам I jk , имеют форму Лакса…”

“…Значения 1 и exp(2πi/N ) отвечают наиболее различным расслоениям и динамическим системам. Это эллиптическая система Калоджеро и эллиптиче-ский волчок [61]. В изомонодромном случае обе модели становятся неавтоном-ными [42], [43], [110].…”

“…Симплектическое соответствие Гекке. Модификацию расслоений можно рассматривать как процедуру, связывающую расслоения с разными ха-рактеристическими классами и описывающую симплектическое соответствие Гекке [61], [45]. В случае SL(2, C) характеристические классы являются элемента-ми из Z 2 , т. е. равны ±1.…”

“…На уровне компоненты связности L(z) модификация действует в виде калибровоч-ного преобразования 10) вырожденного в некоторой точке z 0 , т. е. det Ξ(z, z 0 ) ∼ z − z 0 вблизи z 0 . В этом смысле мы обобщаем симплектическое соответствие Гекке, определенное в [61], на случай уравнений изомонодромных деформаций. Рассмотрим в каче-стве примера уравнение Пенлеве VI.…”

Интегрируемые $sl(N,\mathbb C)$-волчки как системы Калоджеро - Мозера

“…В работе [4] при помощи методов алгебраической геометрии была продемонстри-рована связь между эллиптическим волчком на алгебре sl(N, C) и N -частичной системой КМ. Операторы Лакса двух систем оказываются связаны уравнением…”