Higher $\mathcal{L}$-invariants for $\mathrm{GL}_3(\mathbb{Q}_p)$ and local-global compatibility

Abstract

Let ρ p be a 3-dimensional p-adic semi-stable representation of Gal(Q p /Q p ) with Hodge-Tate weights (0, 1, 2) (up to shift) and such that N 2 = 0 on D st (ρ p ). When ρ p comes from an automorphic representation π of G(A F + ) (for a unitary group G over a totally real field F + which is compact at infinite places and GL 3 at p-adic places), we show under mild genericity assumptions that the associated Hecke-isotypic subspaces of the Banach spaces of p-adic automorphic forms on G(A ∞ F + ) of arbitrary fixed tame level contain (copies of) a unique admissible finite length locally analytic representation of GL 3 (Q p ) of the form considered in [4] which only depends on and completely determines ρ p .

Sur un problème de compatibilité local-global localement analytique

“…Indépendamment du Théorème 1.7, dans [14] sous des hypothèses de généricité faibles est associée à ρ p pour chaque α une extension non scindée π α (ρ p ) de π α par alg ⊗ E π ∞ (qui dépend a priori de ρ p "tout entier") telle que, au moins lorsque les h i sont des entiers consécutifs, tout plongement alg ⊗ E π ∞ ֒→ π an s'étend en un plongement π α (ρ p ) ֒→ π an . Le (ii) du Théorème 1.7 permet par ailleurs d'associer à (h i ) i∈{1,2,3} , W et Fil max α (ρ p ) (via la Proposition 1.1) une autre extension non scindée de π α par alg ⊗ E π ∞ que l'on note π α (Fil max α (ρ p )).…”

“…Le (ii) du Théorème 1.7 permet par ailleurs d'associer à (h i ) i∈{1,2,3} , W et Fil max α (ρ p ) (via la Proposition 1.1) une autre extension non scindée de π α par alg ⊗ E π ∞ que l'on note π α (Fil max α (ρ p )). Le (iii) de la Conjecture 1.4 et [14,Th. 1.1] impliquent que, au moins lorsque les h i sont consécutifs, ces deux extensions non scindées devraient être les mêmes.…”

“…La preuve du Théorème 1.9 repose sur les résultats de [14] et est indépendante des théorèmes précédents, mais a été fortement inspirée par la Conjecture 1.8. Il s'agit d'un raffinement de la construction de π α (ρ p ) dans [14] qui consiste à utiliser la correspondance localement analytique pour GL 2 (Q p ) pour construire, par induction parabolique localement analytique et des calculs de cohomologie galoisienne, un accouplement parfait entre deux Ext 1 de dimension 2, l'un côté (ϕ, Γ)-modules (sans torsion), l'autre côté représentations de GL 3 (Q p ), puis à définir π α (ρ p ) (ou plutôt une sous-représentation π α (ρ p ) − qui détermine π α (ρ p )) comme l'orthogonal de la droite engendrée par le (ϕ, Γ)-module associé à Fil max α (ρ p ) dans la Proposition 1.1 (à torsion et dualité près) vu comme élément du Ext 1 côté (ϕ, Γ)-modules. Ce raffinement repose sur la Proposition 5.5.13 (dont la preuve utilise des résultats de Dospinescu [29]) et la Proposition 6.2.10 (dont la preuve a été reléguée en appendice car elle n'utilise que des techniques de [14] et des calculs d'algèbre de Lie).…”

“…Il s'agit d'un raffinement de la construction de π α (ρ p ) dans [14] qui consiste à utiliser la correspondance localement analytique pour GL 2 (Q p ) pour construire, par induction parabolique localement analytique et des calculs de cohomologie galoisienne, un accouplement parfait entre deux Ext 1 de dimension 2, l'un côté (ϕ, Γ)-modules (sans torsion), l'autre côté représentations de GL 3 (Q p ), puis à définir π α (ρ p ) (ou plutôt une sous-représentation π α (ρ p ) − qui détermine π α (ρ p )) comme l'orthogonal de la droite engendrée par le (ϕ, Γ)-module associé à Fil max α (ρ p ) dans la Proposition 1.1 (à torsion et dualité près) vu comme élément du Ext 1 côté (ϕ, Γ)-modules. Ce raffinement repose sur la Proposition 5.5.13 (dont la preuve utilise des résultats de Dospinescu [29]) et la Proposition 6.2.10 (dont la preuve a été reléguée en appendice car elle n'utilise que des techniques de [14] et des calculs d'algèbre de Lie). L'idée nouvelle par rapport à [14] dans ces deux propositions est de considérer des représentations localement analytiques de GL 2 (Q p ) admettant un caractère infinitésimal.…”

“…Ce raffinement repose sur la Proposition 5.5.13 (dont la preuve utilise des résultats de Dospinescu [29]) et la Proposition 6.2.10 (dont la preuve a été reléguée en appendice car elle n'utilise que des techniques de [14] et des calculs d'algèbre de Lie). L'idée nouvelle par rapport à [14] dans ces deux propositions est de considérer des représentations localement analytiques de GL 2 (Q p ) admettant un caractère infinitésimal.…”