Higher computability and randomness

Kolmogorov Complexity and Algorithmic Randomness

“…В последние годы изучение этих связей дало множе-ство интересных (и трудных) результатов, о которых можно прочесть в [127,37]. Мы же рассмотрим только два вопроса такого рода | о простоте множества про-стых слов и о сложности больших чисел.…”

“…Прежде всего, её определение ис-пользует структуру начал на множестве двоичных слов, и потому алгоритмические преобразования, не сохраняющие этой структуры, могут увеличивать сложность более чем на константу. 127 Покажите, что априорная сложность слова может быть ограниченной, а сложность слова (те же биты в обратном порядке) | сколь угодно большой. Тем самым нет смысла (в отличие от префиксной и обычной сложностей) го-ворить об априорной сложности, скажем, натурального числа или графа.…”

“…книги Ниса [127] и Доуни { Хирш-фельдта [37]: существует перечислимое неразрешимое множество , добавление которого в качестве оракула не меняет класса случайных последовательностей (а также не меняет префиксной сложности, хотя сейчас это нам не важно). Соот-ветственно никакая -вычислимая последовательность не может быть случайной, поскольку она очевидно не является -случайной.…”

“…Книга включает в себя подробный рассказ об истории области, ссылки на первые публикации и так далее. Затем вышли книги К. Калюде [16], A. Ниса [127], а также Р. Доуни и Д. Хиршфельдта [37]; в них вошли многочисленные результаты, полученные в последние годы (в частности, связыва-ющие понятия сложности и случайности с классической теорией вычислимости).…”

Unified characterizations of lowness properties via Kolmogorov complexity

“…Actually A ∈ Low(MLR, CR) iff A is K -trivial [41]. Replacing MLR with W2R, the class has not changed: A ∈ Low(W2R, MLR) iff A is K -trivial [14]; A ∈ Low(W2R, CR) iff A is K -trivial [42]; A ∈ Low(W2R, W2R) iff A is K -trivial [14,32,42]. Thus, many lowness classes are characterized as K -triviality.…”