Harmonic maps from surfaces to complex projective spaces

Sequences of Willmore surfaces

“…This provides a unifying point of view of the results in [3], [7], [15], and [14]. As already conjectured and partially verified in [14], the analogue for Willmore surfaces of the result by Eells and Wood [6] should be the following: if the normal bundle degree of f (with the appropriate orientation) is at least 4g − 3, where g is the genus of M , then the Willmore sequence of f terminates.…”

“…Applying the harmonic sequence arguments to this special case yields the following result by Eells and Wood [6]: if the degree of a harmonic map from a compact Riemann surface M into CP 1 (with the appropriate orientation) is at least the genus g of M then the map has to be holomorphic. For example, a constant mean curvature sphere has a holomorphic unit normal map and thus is a round sphere as first observed by Hopf [10].…”

Гармонические Отображения

“…Более того, как следует из [12], построенное в этой теореме соответствие полная голоморфная кривая f : M → CP n ; число r, 0 r n −→ полное комплексно изо-тропное гармоническое отображение ϕ : M → CP n является взаимно-однозначным. Более подробно, в [12] предло-жена конструкция, которая сопоставляет каждому полному ком-плексно изотропному гармоническому отображению некоторую полную голоморфную кривую f : M → CP n и число r такие, что построенное по формуле (3.1) отображение ϕ совпадает с исход-ным гармоническим отображением. Мы опускаем доказательство теоремы (которое можно найти в [12]), поскольку нас в первую очередь интересует твисторная интерпретация теоремы Иллса-Вуда, которая будет приведена в следующем параграфе.…”

“…Более подробно, в [12] предло-жена конструкция, которая сопоставляет каждому полному ком-плексно изотропному гармоническому отображению некоторую полную голоморфную кривую f : M → CP n и число r такие, что построенное по формуле (3.1) отображение ϕ совпадает с исход-ным гармоническим отображением. Мы опускаем доказательство теоремы (которое можно найти в [12]), поскольку нас в первую очередь интересует твисторная интерпретация теоремы Иллса-Вуда, которая будет приведена в следующем параграфе. Преж-де, однако, остановимся более подробно на применениях сформу-лированной теоремы и, в частности, проанализируем, насколько ограничительным является условие комплексной изотропности.…”

Holomorphic curves in the complex quadric

“…follows from multiplying (2.30) by 5 , summing on a , and using the fact that e" = -6 6 . D It is known that functions of analytic type are precisely the solutions of differential systems…”