Гармонические Отображения

Abstract

Список литературы 113 Предметный указатель 1153 ПредисловиеЭта книга представляет собой запись курса лекций, прочитан-ных автором в Научно-образовательном центре Математического института им. В. А. Стеклова весной 2008 года, дополненного гла-вой, посвященной гармоническим отображениям в пространства петель компактных групп Ли.Главной целью курса являлось изложение твисторного под-хода к построению гармонических отображений из римановых поверхностей в римановы многообразия. Гармонические отобра-жения в римановы многообразия (в отличие от гармонических функций) начали изучать в середине прошлого века, но насто-ящий бум теория гармонических отображений пережила в 90-х годах именно благодаря появлению твисторного подхода. Разви-тие этого направления связано в первую очередь с трудами бри-танской школы математиков. Одним из основных результатов их усилий явилось полное описание гармонических отображений из римановых поверхностей в комплексные грассмановы многообра-зия, представленное в главе 4 данного курса.Новый подъем теория гармонических отображений испытала благодаря осознанию ее связи с общей теорией интегрируемых систем. Указанная связь была установлена Уленбек в известной работе [22], результатом которой явилось проникновение методов теории интегрируемых систем в теорию гармонических отображе-ний. На их основе было получено полное описание гармонических отображений в унитарную группу ([22], [24]). Это направление в теории гармонических отображений, представленное в главе 5, было в значительной степени мотивировано работами физиков по изучению классических решений т.н. σ-моделей. Именно фи-зиками были получены первые результаты по описанию гармо-нических отображений из римановых поверхностей в комплекс-ные проективные пространства, завершенному затем математи-ками (физический "взгляд" на теорию гармонических отображе-ний представлен в обзоре Переломова [15]).В работе Атьи [1] была установлена связь между голоморфны-ми отображениями римановой сферы в пространства петель ком-пактных групп Ли и инстантонами на евклидовом 4-мерном про-странстве (т.е. решениями уравнений дуальности Янга-Миллса 5 6 Предисловие на R 4 ). Основываясь на этом наблюдении, можно предположить, что гармонические отображения римановой сферы в простран-ства петель компактных групп Ли аналогичным образом связаны с решениями полных уравнений Янга-Миллса на R 4 . Указанная гипотеза остается пока не доказанной, но она мотивирует изу-чение гармонических отображений из римановых поверхностей в пространства петель. Это новое направление теории гармони-ческих отображений, связанное с изучением гармонических отоб-ражений в бесконечномерные кэлеровы многообразия, представ-лено в заключительной главе 6 данного курса.Однако, помимо главной цели изложения твисторной теории гармонических отображений, мы рассматривали наш курс и как возможность ознакомить слушателей с методами современной (в первую очередь, комплексной) дифференциальной геометрии. По этой причине книга изобилует отступлениями, в которых изла-гаются необходимые, а иногда просто интересные, с...

Расслоение Паракомплексных Структур

“…[4]), расслоение ортогональных комплексных структур, сохраняющих ориентацию (твисторное расслоение) на S 4 , изоморфно комплексному проективному пространству CP 3 , а расслоение всех ортогональных комплексных структур над S 4 изоморфно CP 3 × Z 2 (см. [8]).…”