Genre des corps surcirculaires

Abstract

Nous montrons que les formules de translation du genre à la Riemann-Hurwitz obtenues par Kuz'min, Kida, Iwasawa, Wingberg et alii pour l'invariant lambda attaché à certains modules d'Iwasawa d'une Z ℓ -extension cyclotomique de corps de nombres sont essentiellement équivalentes. Plus précisément, nous montrons que toutes ces formules, y compris celles énoncées à la Chevalley-Weil en termes de représentations, résultent identiquement pour des raisons purement algébriques du calcul arithmétique d'un quotient de Herbrand convenable qu'il suffit de mener dans le cas cyclique de degré premier.

Classes logarithmiques signées des corps de nombres

“…Reprenons en effet, en les transposant dans le contexte de cette note, les résultats de [12] sur le genre des corps surcirculaires (Th. 23 et Th.…”

“…L'assertion (i) n'est autre mutatis mutandis qu'une transcription du résultat donné par le Th. 23 de [12]. L'assertion (ii) appelle un petit commentaire : aux p = ℓ, les indices de ramification, pris au sens ordinaire e p (L ∞ /K ∞ ) ou logarithmique e p (L ∞ /K ∞ ), coïncident.…”

“…On peut donc remplacer e p (L ∞ /K ∞ ) par d p (L ∞ /K ∞ ) dans (ii) et retomber ainsi sur le résultat du Th. 27 de [12].…”