Classes logarithmiques signées des corps de nombres

Abstract

Classes logarithmiques signées des corps de nombres Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome 12, n o 2 (2000), p. 455-474 <http://www.numdam.org/item?id=JTNB_2000__12_2_455_0> © Université Bordeaux 1, 2000, tous droits réservés. L'accès aux archives de la revue « Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux » (http://jtnb.cedram.org/) implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 455-Classes logarithmiques signées des corps de nombres par JEAN-FRANÇOIS JAULENT À Jacques Martinet, à l'occasion de son soixantième anniversaire RÉSUMÉ. Nous définissons le 2-groupe des classes logarithmiques signées d'un corps de nombres par analogie avec le groupe des classes d'idéaux au sens restreint et nous établissons les résultats de base de l'arithmétique des classes logarithmiques signées. ABSTRACT. We introduce the signed logarithmic 2-class group of a number field as a cyclotomic analogue of the restricted ideal class group and we establish the fundamental results of the arithmetic of signed logaritmic classes.

The 3-adic regulators and wild kernels

“…We will use the notation as in [4] and [16]. For the details of logarithmic -class group, one can see [4,[8][9][10][11][12] and [16].…”

“…The arithmetic of this logarithmic group can give some information on the wild kernels of number fields. One can see [4,[8][9][10][11][12] and [16] for details. Especially, Pauli and Soriano-Gafiuk can describe the p-rank of the wild kernel of quadratic number field Q( √ d) by the logarithmic p-class group of the quadratic number field Q( √ −3d) without assuming Q( √ d) contains a primitive pth root of unity in [16].…”

The logarithmic class group package in PARI/GP

“…where Z ⊗ Z Cl F is nothing else than the -Sylow subgroup of the class group and the kernel Z ⊗ E F is the direct product of the -group µ ( ) F of -primary roots of unity in F and a free Z -module of rank r F + c F − 1. We now define the -adic logarithmic valuations by keeping the ordinary definition v p = v p at places p , but we modify them at places p above [16]:…”