Gefilterte Summation von Filtern und iterierte Grenzprozesse. I

Abstract

Von der Theorie der Grenzfiberg~nge aus gesehen, sind nach G. BRuNs und J. SC~IMZDT 1) Moore-Smith-Folge und Tilter in einem pr~zisen Sinne miteinander ~quivalent.In den fiblichen Konvergenztheorien treten als wichtige S~tze solche fiber Doppelfolgen, Doppelreihen, Doppelintegrale u. ~. auf, die --in einer unmiBverst~ndlichen Matrixsprechweise ausgedrfickt --unter Voraussetzung der Existenz der ,,Zeilenlimites" einmal aus der Existenz des Limes der Zeilenlimites schlieBen auf die Existenz des ,,Limes der gesamten Matrix" oder zumindestens einer gewissen Diagonale der Matrix, ein andermal aus der Existenz des Limes der gesamten Matrix schliel3en auf die Existenz des Limes der Zeilenlimites2). Als eine modifizierte Verallgemeinerung der Aussagen erster Art ist anzusehen der sog. Satz vom iterierten Limesa), der besagt, daI3 *) Erster Auszug aus der Dissertation ,,~ber die gefilterte Summe yon Filtern" des Veff., Stuttgart 1958.

The degree of subsequentiality of a subsequential filter

“…To construct several subsequential filters let us remind the definition of the direct sum of countably many filters with respect to a given filter (this notion has been considered by several people [10][11][12]):…”

Erweiterungsräume innerhalb der Kategorie der Biadhärenzräume

“…(2) ( A , f , B) ist A-Monomorphismus genau dann, wenn f eine strukkrtreue, ( 3 ) ( A , f , B ) ist A-Epimorphislmus genau dann, wenn f eine strukturtreue, yur- (4) ( A , f , B )…”

“…In diesem ersten Teil konstruieren wir daher zuniichst die Kategorie A der Bidharenxraurne (siehe 2. 4 Hiillenoperation to won ( V , U , fl ) derart, dap f@r alle X E V gilt :…”

Extended topology: Filters and convergence I

“…Bo~rRBAKI [2] used filters in his theory of convergence. SCHMIDT [10,11] and GRIMEISE~ [7,8], made further contributions to filter theory. In this paper, I will generalize the concept of filter due to CARTA~ and deal with those aspects of this generalization which will be needed to develop a theory of convergence.…”

“…

The motivation for this extension of topology was provided by the study of problems in stochastic processes, numerical analysis, logic, computing, control systems etc., where even though the problems considered were essentially topological the theory of topology has been found to be inadequate to handle the situation; to HA~a~I~R [9] goes the credit for this extension. SCHMIDT [10,11] and GRIMEISE~ [7,8], made further contributions to filter theory. Bo~rRBAKI [2] used filters in his theory of convergence.

…”