Faster ECC over $$\mathbb {F}_{2^{521}-1}$$

Granger, Robert; Scott, Michael

doi:10.1007/978-3-662-46447-2_24

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“…The elliptic curves with prime order have advantage over nonprime case since each non-neutral element of the curve is a generator of the group of points on the curve. The arithmetic on elliptic curves is presented in papers [5], [12] and over the field F 2 521 −1 in [13]. We check the class number criterion and the twist security for our examples of curves.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

International Journal of Electronics and Telecommunications

Szmidt

Gliwa

Barański

2020

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The purpose of this paper is to generate cryptographically strong elliptic curves over prime fields Fp, where p is a Mersenne prime, one of the special primes or a random prime. We search for elliptic curves which orders are also prime numbers. The cryptographically strong elliptic curves are those for which the discrete logarithm problem is computationally hard. The required mathematical conditions are formulated in terms of parameters characterizing the elliptic curves. We present an algorithm to generate such curves. Examples of elliptic curves of prime order are generated with Magma.

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Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

International Journal of Electronics and Telecommunications

Szmidt

Gliwa

Barański

2020

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“…We start summarizing some contributions on faster methods for modular multiplication using prime moduli of special shape. Granger and Scott [121] proposed an efficient algorithm for calculating multiplications over F p , where p = 2 521 − 1 is a Mersenne prime; thus, they reduced the number of digit multiplications to be calculated. Some other methods are shown in Crandall-Pomerance's book [79] for pseudo-Mersenne moduli, i.e., numbers of the form p = 2 k − c where c is a short number.…”

Section: Prime Field Arithmeticmentioning

confidence: 99%

“…In cryptography, the prime M 521 is used to define standardized elliptic curve algorithms. In [5,121,246], several optimizations were proposed targeting the arithmetic operations on F M 521 . Also, the prime M 128 is used to construct a quadratic extension of F M 128 , which is used to define an elliptic curve called FourQ [77].…”

Section: Special Families Of Modulimentioning

confidence: 99%

“…Gueron and Krasnov [132] showed optimizations for P-256 through a more efficient calculation of prime field multiplication leveraging the use of Montgomery-friendly primes. Granger and Scott [121] described a novel technique for accelerating multiplications on F 2 521 −1 , which they used for the implementation of P-521 curve operations; this latter technique can also be extended to pseudo-Mersenne primes.…”

Section: Related Workmentioning

confidence: 99%

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High-performance elliptic curve cryptography

Faz Hernández

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ResumoA criptografia baseada em curvas elípticas fornece métodos eficientes para a criptografia de chave pública. Pesquisa recente tem mostrado a superioridade das curvas de Montgomery e de Edwards sobre as curvas de Weierstrass pois elas precisam de menos operações aritméticas. O uso destas curvas modernas, porém, traz consigo diversos desafios na construção de algoritmos criptográficos deixando em aberto novos alvos de otimizações.Nosso objetivo principal é propor otimizações algorítmicas e técnicas de implementação para os algoritmos criptográficos baseados em curvas elípticas. Visando acelerar a execução destes algoritmos, nossa abordagem fundamenta-se na utilização extensões ao conjunto de instruções da arquitetura. Além daquelas específicas para a criptografia, nós usamos extensões que seguem o paradigma de cômputo paralelo SIMD (do inglês, Single Instruction, Multiple Data). Neste modelo, o processador executa a mesma operação sobre um conjunto de dados de forma paralela. Nós investigamos como aplicar o modelo SIMD na implementação de algoritmos de curvas elípticas.Como parte de nossas contribuições, projetamos algoritmos paralelos para a aritmética de corpos primos e de curvas elípticas. Projetamos também um algoritmo de multiplicação escalar para calcular P + kQ e uma fórmula otimizada para calcular 3P em curvas de Montgomery. Estes algoritmos encontraram aplicabilidade na criptografia baseada em isogenias. Usando extensões SIMD tais como SSE, AVX e AVX2, desenvolvemos implementações otimizadas dos seguintes algoritmos criptográficos: X25519, X448, SIDH, ECDH, ECDSA, EdDSA e qDSA. Testes de desempenho mostram que essas implementações são mais rápidas do que as implementações existentes no estado da arte.Nosso estudo confirma que o uso de extensões ao conjunto de instruções da arquitetura é uma ferramenta efetiva para otimizar implementações de algoritmos criptográficos baseados em curvas elípticas. Seja isto um incentivo não somente para aqueles que procuram acelerar os programas em geral, mas também para que os fabricantes de computadores incluam mais extensões avançadas para apoiar a demanda crescente da criptografia.

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Fast Implementation of Curve25519 Using AVX2

Faz-Hernández

López

2015

Progress in Cryptology -- LATINCRYPT 2015

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Faster ECC over $$\mathbb {F}_{2^{521}-1}$$

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High-performance elliptic curve cryptography

Fast Implementation of Curve25519 Using AVX2

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