F-sets and finite automata

Abstract

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Contributions to the theory of $F$-automatic sets

“…We let Z[F ] denote the subring of End(Γ) generated by F , and consider Γ as a Z[F ]-module. Our context is slightly more general than that of [2]: they require that Γ be a finitely generated abelian group, which we do not. Most of the results of [2] go through in this context with no additional effort.…”

“…Proof. By F -automaticity there is r 0 > 0 and an ) ] F is denoted simply Σ (r) in [2]; recall that for us Σ (r) denotes the set of strings over Σ of length r.…”

“…We first study what it means for Γ to admit an F -spanning set. It is clear in [2] that the authors do not expect all finitely generated abelian groups to admit spanning sets, but no example was given. Here is one:…”

“…In the theory of regular languages there is a natural sparse/nonsparse dichotomy in terms of the growth of the number of accepted words of bounded length. This was extended and investigated in [2]; see Definition 5.1 below for details. We clarify some properties of F -sparse sets (answering a question in [2] along the way) and characterize them in terms of length functions (Theorem 5.9).…”

“…This was extended and investigated in [2]; see Definition 5.1 below for details. We clarify some properties of F -sparse sets (answering a question in [2] along the way) and characterize them in terms of length functions (Theorem 5.9). As a consequence, we obtain in Corollary 5.11 a useful criterion for verifying F -sparsity; this criterion is used by Bell-Ghioca-Moosa in the recent preprint [1] on effective isotrivial Mordell-Lang.…”