Extremal length geometry of teichmüller space

Une formule différentielle de la longueur extrémale et ses applications

“…Dans cette sous-section, on va résumer le travail de Hubbard-Masur [6] sur la correspondance entre les formes quadratiques différentielles holomorphes et les feuilletages mesurés, et les formules de Gardiner-Masur qui sont apparues dans [5]. Soient S une surface de Riemann compacte, et q une forme différentielle quadratique holomorphe sur S, c'est-à-dire que q est une forme différentielle localement exprimée comme φ(z)dz 2 par rapport à chaque coordonnée locale complexe z de S où φ est une fonction holomorphe.…”

“…Dans [5], Gardiner et Masur ont défini une compacitification de l'espace de Teichmüller analogue à celle de Thurston en utilisant la longueur extrémale au lieu de la longueur hyperbolique. Ils y ont démontré égale-ment le résultat suivant (Theorem 5.1).…”

“…Nous pouvons supposer que τ 1 et τ 2 s'intersectent effectivement (proposition 2.1). Gardiner et Masur ont montré qu'il existe des voisinages [5]). Nous supposons de plus que l'adhérence de chaque V i est compacte.…”

“…, on aura β = α par le critère de Gardiner et Masur dans [5]. Donc il s'ensuit que B y ∩ E τ est strictement convexe en α dans V τ .…”

“…Si F 0 et α 0 satisfont la condition i(β, F 0 ) + i(β, α 0 ) > 0 pour toute lamination géodésique mesurée non-nulle β, alors il existe un point y 0 ∈ T (S) tel que F α 0 (y 0 ) = F 0 (voir [5] et [6]). Comme dans (6.8), on obtient l'égalité τ (γ i , σ 0 ) = i(γ i , F α 0 (y 0 )) = τ (γ i , Σ α 0 ,τ (y 0 )) pour i = 1, .…”