Extensions de représentations de de Rham et vecteurs localement algébriques

Abstract

Soit Π une complétion unitaire irréductible d'une représentation localement algébrique de GL2(Q p ). On décrit les déformations infinitésimales Π1 de Π qui sont elles-mêmes complétions d'une représentation localement algébrique. Cela répond à une question de Paskunas et a des applications directes à la conjecture de Breuil-Mézard. Abstract. -Let Π be an irreducible unitary completion of a locally algebraic GL2(Qp)representation. We describe those first-order deformations of Π which are themselves completions of a locally algebraic representation. This answers a question of Paskunas and has direct applications to the Breuil-Mézard conjecture.c

On 2-dimensional 2-adic Galois representations of local and global fields

“…All our arguments are local, except that if the inertial type extends to an irreducible representation of the Weil group W Qp of Q p , the description of locally algebraic vectors in the Banach space representations relies on a global input of Emerton [19, §7.4]. Dospinescu's [16] results on locally algebraic vectors in extensions of Banach space representations of G are also crucial in this case.…”

The $p$-adic local Langlands correspondence for ${\rm GL}_2(\mathbb{Q}_p)$

“…Let a, b be the Hodge-Tate weights of D. Extension by 0 allows to view D rig = D rig ⊠ δ Z p as a subspace of D rig ⊠ δ P 1 and any element of D rig ⊠ δ P 1 can be written as z 1 + w · z 2 with z 1 , z 2 ∈ D rig . The equality κ(δ) = κ(δ D ) combined with theorem 3.1 in [29] yields…”

Sur un problème de compatibilité local-global localement analytique

“…Par [29,Th. 3.3] (qui fait l'hypothèse que ρ 1 est absolument irréductible, mais le même argument s'applique au cas où End Gal Qp (ρ 1 ) ∼ = E), si ρ 1 est de Hodge-Tate alors Π ζε −1 (D( ρ 1 ) 0 ) an a un caractère infinitésimal, donc π an aussi par ce qui précède.…”

“…Il s'agit d'un raffinement de la construction de π α (ρ p ) dans [14] qui consiste à utiliser la correspondance localement analytique pour GL 2 (Q p ) pour construire, par induction parabolique localement analytique et des calculs de cohomologie galoisienne, un accouplement parfait entre deux Ext 1 de dimension 2, l'un côté (ϕ, Γ)-modules (sans torsion), l'autre côté représentations de GL 3 (Q p ), puis à définir π α (ρ p ) (ou plutôt une sous-représentation π α (ρ p ) − qui détermine π α (ρ p )) comme l'orthogonal de la droite engendrée par le (ϕ, Γ)-module associé à Fil max α (ρ p ) dans la Proposition 1.1 (à torsion et dualité près) vu comme élément du Ext 1 côté (ϕ, Γ)-modules. Ce raffinement repose sur la Proposition 5.5.13 (dont la preuve utilise des résultats de Dospinescu [29]) et la Proposition 6.2.10 (dont la preuve a été reléguée en appendice car elle n'utilise que des techniques de [14] et des calculs d'algèbre de Lie). L'idée nouvelle par rapport à [14] dans ces deux propositions est de considérer des représentations localement analytiques de GL 2 (Q p ) admettant un caractère infinitésimal.…”