Exactly solvable two-dimensional stationary Schrödinger operators obtained by the nonlocal Darboux transformation

Abstract

The Fokker-Planck equation associated with the two -dimensional stationary Schrödinger equation has the conservation low form that yields a pair of potential equations. The special form of Darboux transformation of the potential equations system is considered. As the potential variable is a nonlocal variable for the Schrödinger equation that provides the nonlocal Darboux transformation for the Schrödinger equation. This nonlocal transformation is applied for obtaining of the exactly solvable two -dimensional stationary Schrödinger equations. The examples of exactly solvable two -dimensional stationary Schrödinger operators with smooth potentials decaying at infinity are obtained.

Nonlocal Darboux transformation of the two-dimensional stationary Schrödinger equation and its relation to the Moutard transformation

“…If linear operatorsL andL D hold the intertwining relation In accordance with the idea of the paper [9] we define domain F by restriction to solutions of one equation from the system of two equations (5), (6). Consider equation (7) on the following domain:…”

“…In the papers [9], [10] the nonlocal Darboux transformation of the two -dimensional stationary Schrödinger equation in cartesian coordinates was considered and its relation to the Moutard transformation was established. In the present paper we consider the stationary Schrödinger equation in cylindrical coordinates (1) using the approach of papers [9], [10]. We use the relation of the Schrödinger equation with the Fokker-Planck equation [11].…”

Nonlocal Darboux transformation of the two-dimensional stationary Schrödinger equation and its relation to the Moutard transformation

“…Рассмотрим также преобразование Дарбу в виде [8] предложено рассматривать уравнение (7) в следующей области:…”

“…В статье [8] рассмотрена специальная форма преобразования Дарбу для уравнений (5), (6). Показано, что, поскольку потенциальная переменная Q является нелокальной переменной уравнения Шредингера, она порождает нелокальное преобразование Дарбу для этого уравнения, которое можно использовать для получения новых примеров интегрируемых стационарных операторов Шредингера.…”

“…Показано, что, поскольку потенциальная переменная Q является нелокальной переменной уравнения Шредингера, она порождает нелокальное преобразование Дарбу для этого уравнения, которое можно использовать для получения новых примеров интегрируемых стационарных операторов Шредингера. В статье [8] исследован простой случай h = 0. В настоящей статье рассмотрен случай произвольного h и установлена связь между нелокальным преобразованием Дарбу и преобразованием Мутара [9].…”