Exact solution for first-order synchronization transition in a generalized Kuramoto model

Abstract

First-order, or discontinuous, synchronization transition, i.e. an abrupt and irreversible phase transition with hysteresis to the synchronized state of coupled oscillators, has attracted much attention along the past years. We here report the analytical solution of a generalized Kuramoto model, and derive a series of exact results for the first-order synchronization transition, including i) the exact, generic, solutions for the critical coupling strengths for both the forward and backward transitions, ii) the closed form of the forward transition point and the linear stability analysis for the incoherent state (for a Lorentzian frequency distribution), and iii) the closed forms for both the stable and unstable coherent states (and their stabilities) for the backward transition. Our results, together with elucidating the first-order nature of the transition, provide insights on the mechanisms at the basis of such a synchronization phenomenon.

The Kuramoto model in complex networks

“…Further properties of synchronization in the presence of correlations between the intrinsic dynamics of the oscillators and their local topology were investigated in [255,274,275] as well as the dynamics in other types of networks, such as in modular [139] and in co-evolving [246] ones. The effects of partially correlating frequencies and degrees were also investigated [256].…”

Самоподобие Процесса Десинхронизации В Сети Обобщенных Осцилляторов Курамото

“…Важно отметить, что, несмотря на то что наиболее популярной моделью для изучения взрывной синхронизации являются сети ос-цилляторов Курамото [18,19], спонтанное, мгновенно возникающее изменение в динамике сети осцилляторов, приводящее к резкому разрушению/установлению синхронного режима, наблюдается также и для других типов осцилляторов, когда они являются структурными элементами сложных сетей, например для кусочно-линейных систем Ресслера [10] или обобщенных осцилляторов Курамото [20]. Иными словами, резкий переход от синхронного состояния осцилляторов сети со сложной топологией межэлементных связей к асинхронной динамике (и наоборот) представляет собой универсальное явление, возникающее при определенных условиях в сложных сетях с различными узловыми элементами и разными типами топологии связей.…”

“…В настоящей работе на примере сети обобщенных осцилляторов Курамото [20] показывается, что резкое изменение состояния сети со сложной топологией связей -следствие явления самоподобия, когда разрушение синхронного режима происходит последовательно через самоподобные конфигурации взаимодействующих осцилляторов, теряющие устойчивость при одном и том же значении управляющего параметра, характеризующего интенсивность межэлементных связей.…”

“…Результаты, представленные в работе, были получены для сети обобщенных осцилляторов Курамото [20], состоящей из N = 5 · 10 3 элементов, динамика которых описывается уравнениями…”

“…В рамках рассматриваемой модели все осцилляторы сети связаны друг с другом, собственные частоты осцилляторов ω i были заданы эквидистантно в интервале [−0.5, 0.5], начальные фазы осцилляторов без ограничения общности были выбраны равными нулю. Поскольку все значения собст-венных частот модифицированных осцилляторов Курамото различны, синхронная динамика в сети возникает только при значении параметра связи выше граничного значения λ c , при этом все осцилляторы сети находятся в синхронизме, а сама сеть в целом может рассматриваться как единый синхронный кластер размера N. При критическом значении параметра связи λ c (для рассматриваемой сети λ c = 2.0) синхронный кластер начинает разрушаться [20]. Когда с уменьшением величины связи λ при λ * синхронный кластер размера N теряет устойчивость, часть осцилляторов выходит из синхронизма, а оставшиеся в синхронном состоянии осцилляторы составляют кластер размера K < N. В том случае, если новый кластер оказывается устойчивым при этом же самом значении параметра λ * , сеть плавно переходит в новое устойчивое состояние, для разру-шения которого нужно снова уменьшать интенсивность связи, что соответствует фазовому переходу второго рода [8].…”