Ergodic decomposition of quasi-invariant probability measures

Abstract

Abstract. The purpose of this note is to prove various versions of the ergodic decomposition theorem for probability measures on standard Borel spaces which are quasiinvariant under a Borel action of a locally compact second countable group or a discrete nonsingular equivalence relation. In the process we obtain a simultaneous ergodic decomposition of all quasi-invariant probability measures with a prescribed Radon-Nikodym derivative, analogous to classical results about decomposition of invariant probability measures.1. Introduction. Throughout this note we assume that (X, S) is a standard Borel space, i.e. a measurable space which is isomorphic to the unit interval with its usual Borel structure. A Borel action T of a locally compact second countable group G on X is a group homomorphism g → T g from G into the group Aut(X, S) of Borel automorphisms of (X, S) such that the map (g, x) → T g x from G × X to X is Borel. Let T be a Borel action of a locally compact second countable group G on X, and let µ be a probability measure on S. The measure µ is quasi-invariant under T if µ(T g B) = 0 for every g ∈ G and every B ∈ S with µ(B) = 0, and µ is ergodic under T if µ(B) ∈ {0, 1} for every B ∈ S with µ(B T g B) = 0 for every g ∈ G.The following theorem is part of the mathematical folklore about group actions on measure spaces. Theorem 1.1 (Ergodic decomposition theorem). Let T be a Borel action of a locally compact second countable group G on a standard Borel space (X, S), and let µ be a probability measure on S which is quasi-invariant under T . Then there exist a standard Borel space (Y, T), a probability measure 2000 Mathematics Subject Classification: 28D05, 28D15, 28D99, 47A35.

Exchangeable measures for subshifts

“…If R is a countable Borel equivalence relation, then any R-invariant μ ∈ M(X) is an average of R-invariant, ergodic, σ -finite measures [14].…”

Эргодическое Разложение Для Мер, Квазиинвариантных Относительно Борелевских Действий Индуктивно Компактных Групп

“…Для действий локально компактных групп общая теорема об эргодическом разложении принадлежит Грешонигу и Шмидту [13]. Грешониг и Шмидт пред-ложили два подхода: в первом они следовали Рохлину и показали, что сигма-алгебра инвариантных множеств является "достаточной" для множества ве-роятностных мер с данным коциклом Радона-Никодима, второй подход осно-вывался на теореме Шоке (см., например, [14]).…”

“…Автор благодарен Клаусу Шмидту за объяснение конструк-ции из § 5 работы [13] и за многочисленные полезные обсуждения. Автор бла-годарит Ива Кудена за объяснения теории Суслина.…”

“…Левая часть равенства (10) зависит не от меры ν, но только от коцикла ρ. Это простое наблюдение будет важно в дальнейшем. В тер-минологии Грешонига и Шмидта [13] лемма 1 утверждает, что сигма-алгеб-ра K-инвариантных множеств достаточна для M(T K , ρ). Используя обратную теорему о мартингальной сходимости, мы покажем, что для действий индук-тивно компактных групп сигма-алгебра инвариантных борелевских множеств достаточна для пространства вероятностных мер с фиксированным послойно непрерывным коциклом Радона-Никодима, а также что сигма-алгебра инва-риантных борелевских множеств счетно порождена по модулю универсальных нуль-множеств, т.е.…”

Boundaries and Harmonic Functions for Random Walks with Random Transition Probabilities

“…We could not find a precise reference to this fact in the available literature, although it is no doubt known to specialists (as a part of "folklore", very much present in this area, cf. the introduction to [GS01]). …”