Eine charakteristische Eigenschaft der Flächen, deren Linienelementds durchds 2=(ϰ(q 1)+λ(q 2)) (dq 21+dq 22) gegeben wird

Abstract

Eine charakteris~ische Eigenschaft der Fl~chen, LinieneIement d s dutch gegeben wird. Von Pxcn STXCKEL in Berhm deren 1~ Die Fl~chen, deren Linienelemen~ ~s dutch gegeben wird, zeichnen s~ch aus d~rch eine yon Liouville (Sur quelques cas particu]iers oQ les ~qtlations du Inotlvellleat d'ull poinl~ peuven~ s'int~grer. Liouville's Journal t. XI. $. 345, t, XII. S. 410, 1846) entdeekte Eigensehaft, dass a~mlieh ihre geo&Stischen Linien dureh Quadraturen bestimm~ werden kSnnen. Auf diese Eigensehaft wurde Liouville geffihrt dm.eh Untersuehungen aus der Dynamik. Er land, dass die Bewegung eines materiellen Punktes auf einer solchea Ft$che --die karz ei~e Liouville'sche .EliicI, e genannt werden m S g edutch Quadrataren ermittelt werden kann, wean ffir die b~trachtete Bewegung eine Kr~ftefanction H d e r Form: (2) rr -~ ~(q'~ + "~,~,k existir~. Der Beweis hierf~r l~ss$ sieh fo]genc]ermassen ffihren (vergl. a. a. O. t. XII. S. 442): Handelt es sich allgemein am die Bewegung eines materiellen pank~es der Masse 1 auf einer F]~he~ derea Linienelement ds durch: (3) ds e -~ (zd~t, ~ "q-2~d~dCl~ ~-GJd~l~ ~" gegeben wird, und existirt f~ diese Bewegung eine Kr,~ft~faaction ~(~, q~), so kommt naeh den Untorsuchungen yon H a m i l t o n und J a e o b i die Integration der Differentialgleiehungen der Bewegung zur[ick auf die Ermittelung einer vollsthndigen L3sung der ,zugehSrigen" 9~ P. STXCK~.

A simple derivation and interpretation of the third integral in stellar dynamics

“…This paper gives what I hope is a simpler, cleaner derivation of the integral, in elementary terms that do not require spheroidal coordinates or the separation of the Hamilton–Jacobi equation. Earlier treatments requiring such sophistications are found in Lynden‐Bell (1962), Eddington (1915), de Zeeuw (1985a,b,c), Stackel (1890) and Kuzmin (1956). The two‐dimensional problem is discussed in Whittaker (1904).…”

Special Features of Galactic Dynamics

“…The paradigm of integrable triaxial galactic potential models are ellipsoidal Stäckel potentials (Stäckel 1890, 1893, Eddington 1915, Kuzmin 1956, LyndenBell 1962b, de Zeeuw and Lynden-Bell 1985:…”

Three-integral models for axisymmetric galactic discs

“…This third integral can be taken into account numerically in the models by using extensions of the Schwarzschild (1979) orbit superposition technique (Cretton et al 1999; Zhao 1999; Häfner et al 2000). It is also possible to define an analytic third integral specific to particular orbital families (de Zeeuw, Evans & Schwarzschild 1996; Evans, Häfner & de Zeeuw 1997) or an approximate global third integral (Petrou 1983a,b; Dehnen & Gerhard 1993), but we choose to construct models with an exact analytic third integral by using a Stäckel potential (Stäckel 1890; de Zeeuw 1985).…”