Ein Residuensatz f�r symmetrische Bilinearformen

Geyer, Wulf-Dieter; Harder, G.; Knebusch, Manfred; Scharlau, Winfried

doi:10.1007/bf01403186

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“…Insbesondere geben wir einen elementaren algebraischen Beweis für das Weilsche Reziprozitätsgesetz. Er verläuft analog dem Beweis des "Residuensatzes" für differentialwertige symmetrische Bilinearformen über einem algebraischen Funktionenkörper in einer Variablen [6]. Differentialwertige Formen spielen wieder eine entscheidende Rolle.…”

Section: Die Eindeutigkeit Des Quadratischen Reziprozitätsgesetzes Im Sinne Vonunclassified

“…Modulare Formen über Dedekind-Ringen Der Inhalt dieses Abschnittes ist mehr oder weniger "wohlbekannt". Für peMax(A) führen wir folgende Bezeichnungen ein: Wir beweisen das Weilsche Reziprozitätsgesetz [17], S. 179, Proposition 5 in etwas anderer Form unter Verwendung der in [6] benutzten Methode und der lokalen Ergebnisse aus § 3. 7 8 sei die Gruppe der 8-ten Einheitswurzeln, die wir uns immer als Untergruppe von 7 denken.…”

Section: Die Eindeutigkeit Des Quadratischen Reziprozitätsgesetzes Im Sinne Vonunclassified

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Quadratische Formen und quadratische Reziprozit�tsgesetze �ber algebraischen Zahlk�rpern

Knebusch

Scharlau

1971

Math Z

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Section: Die Eindeutigkeit Des Quadratischen Reziprozitätsgesetzes Im Sinne Vonunclassified

Quadratische Formen und quadratische Reziprozit�tsgesetze �ber algebraischen Zahlk�rpern

Knebusch

Scharlau

1971

Math Z

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“…For nonrational curves, the choice of local uniformizers inherent in defining the residue maps is eliminated by considering quadratic forms with values in the canonical bundle ω X/F . Theorem 7 (Geyer-Harder-Knebusch-Scharlau [39]). Let X be a smooth proper integral curve over a field F of characteristic = 2.…”

Section: Positive Resultsmentioning

confidence: 99%

“…Bilinear forms over Dedekind domains (i.e. unimodular lattices) were studied in a number theoretic context by Fröhlich [35], while the consideration of quadratic forms over algebraic curves (and their function fields) was initiated by Geyer, Harder, Knebusch, Scharlau [44], [39], [53], [55]. The theory of quadratic (and bilinear) forms over schemes was developed by Knebusch [54], [52], and utilized by Arason [2], Dietel [27], Parimala [76], [83], Fernández-Carmena [32], Sujatha [94], [82], Arason-Elman-Jacob [6], [7], and others.…”

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confidence: 99%

Remarks on the Milnor conjecture over schemes

Auel

Advanced Studies in Pure Mathematics

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The Milnor conjecture has been a driving force in the theory of quadratic forms over fields, guiding the development of the theory of cohomological invariants, ushering in the theory of motivic cohomology, and touching on questions ranging from sums of squares to the structure of absolute Galois groups. Here, we survey some recent work on generalizations of the Milnor conjecture to the context of schemes (mostly smooth varieties over fields of characteristic = 2). Surprisingly, a version of the Milnor conjecture fails to hold for certain smooth complete p-adic curves with no rational theta characteristic (this is the work of Parimala, Scharlau, and Sridharan). We explain how these examples fit into the larger context of the unramified Milnor question, offer a new approach to the question, and discuss new results in the case of curves over local fields and surfaces over finite fields.

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Selbstduale Goppa‐Codes

Scharlau

1989

Mathematische Nachrichten

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Ii einer grundlegenden Arbeit [3] hat V. D. GOPPA mit Methoden aus der Theorie der algebraischen Kurven uber endlichen Korpern die nach ihm benannten Codes konstruiert. Diese Codes sind urn so besser, je mehr rationale Punkte die Kurve im Vergleich zu ihrem Geschlecht hat. &lit tiefliegenden Methoden der algebraischeri Geometrie sind unendliche Familien algebraischer Kurven mit ,,vielen" rationalen Punkten konstruiert worden [4], [12]. TSFALSMAN, VLADVT und ZINK haben ausgefiihrt, wie man dann Familien ,,guter" Codes erhalt [12]. Diese Arbeiten haben uber die Codierungs-Theorie hinaus gro5e Beachtung gefunden (vgl. z. B. [5] p. 6021603; [I] p. 272). Es ist bisher aiischeinend nicht untersucht worden, wiemeit sich diese Ergebnisse auch a d die wichtige und interessante Klasse der selbstdualen Codes iibertragen lassen. Das sol1 in dieser Note nachgeholt werden. Wir brauchen dezu als zusiitzliches Hilfsmittel einen im wesentlichen auf HECKE zuriickgehenden Satz: Die kanonische Klasse ist ein Quudrd in der Rlassengruppe. (Vgl. [13], ,,coronidis loco".) Weiter wird sich zeigen, da5 selbstduale Goma-Codes schon friiher aufgetreten sind, niimlich beim Beweis des Residuensatzes fiir differentialwertige symmetrische Bilinearformen (vgl. [2], [lo] p. 234). Da dieser Satz ebenfal!s a d s engste mit HECKES Theorem zusammenhangt (vgl. [6], wo der analoge, aber technisch kompliziertere Fall von Zahlkorpern behandelt wird) , werden hiermit interessante Verbindungen zwischen selbstdualen GOPPa-Codes, HECKES Satz und dem (quadratischen) Reziprozitiitsgesetz offenkundig. Wir verwenden die Grundbegriffe der Codierungstheorie wie in [8]; fiir die Konstruktion der GoPPa-Codes und ihre Parameter-Abschiitzungen verweisen wir auf [3], [12], [7] wiederholen aber das wichtigste : Es sei Fq der endliche Korper mit q Elementen und F/Fq ein Funktionenkorper vomGeschlecht g. Es sei 9 der 1-dimensionale F-Vektorraum der Differentiale. Fur eine Funktion f =+ 0 oder ein Differential o =# 0 bezeichne ( f ) bzm. ( w ) den zugehorigen Divisor. Wir schreiben die Divisorengruppe additiv. C sei die Klassengruppe, Co die Untergruppe der Klassen vom Grad 0, so da13 C = Co @ 2. Fiir einen Divisor A sei wie iiblich L(A) = (f E F I (f) 2 --A}, Q ( A ) = (W E 9 I ( 0 ) 2 A } .

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Ein Residuensatz f�r symmetrische Bilinearformen

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Quadratische Formen und quadratische Reziprozit�tsgesetze �ber algebraischen Zahlk�rpern

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