Selbstduale Goppa‐Codes

Abstract

Ii einer grundlegenden Arbeit [3] hat V. D. GOPPA mit Methoden aus der Theorie der algebraischen Kurven uber endlichen Korpern die nach ihm benannten Codes konstruiert. Diese Codes sind urn so besser, je mehr rationale Punkte die Kurve im Vergleich zu ihrem Geschlecht hat. &lit tiefliegenden Methoden der algebraischeri Geometrie sind unendliche Familien algebraischer Kurven mit ,,vielen" rationalen Punkten konstruiert worden [4], [12]. TSFALSMAN, VLADVT und ZINK haben ausgefiihrt, wie man dann Familien ,,guter" Codes erhalt [12]. Diese Arbeiten haben uber die Codierungs-Theorie hinaus gro5e Beachtung gefunden (vgl. z. B. [5] p. 6021603; [I] p. 272). Es ist bisher aiischeinend nicht untersucht worden, wiemeit sich diese Ergebnisse auch a d die wichtige und interessante Klasse der selbstdualen Codes iibertragen lassen. Das sol1 in dieser Note nachgeholt werden. Wir brauchen dezu als zusiitzliches Hilfsmittel einen im wesentlichen auf HECKE zuriickgehenden Satz: Die kanonische Klasse ist ein Quudrd in der Rlassengruppe. (Vgl. [13], ,,coronidis loco".) Weiter wird sich zeigen, da5 selbstduale Goma-Codes schon friiher aufgetreten sind, niimlich beim Beweis des Residuensatzes fiir differentialwertige symmetrische Bilinearformen (vgl. [2], [lo] p. 234). Da dieser Satz ebenfal!s a d s engste mit HECKES Theorem zusammenhangt (vgl. [6], wo der analoge, aber technisch kompliziertere Fall von Zahlkorpern behandelt wird) , werden hiermit interessante Verbindungen zwischen selbstdualen GOPPa-Codes, HECKES Satz und dem (quadratischen) Reziprozitiitsgesetz offenkundig. Wir verwenden die Grundbegriffe der Codierungstheorie wie in [8]; fiir die Konstruktion der GoPPa-Codes und ihre Parameter-Abschiitzungen verweisen wir auf [3], [12], [7] wiederholen aber das wichtigste : Es sei Fq der endliche Korper mit q Elementen und F/Fq ein Funktionenkorper vomGeschlecht g. Es sei 9 der 1-dimensionale F-Vektorraum der Differentiale. Fur eine Funktion f =+ 0 oder ein Differential o =# 0 bezeichne ( f ) bzm. ( w ) den zugehorigen Divisor. Wir schreiben die Divisorengruppe additiv. C sei die Klassengruppe, Co die Untergruppe der Klassen vom Grad 0, so da13 C = Co @ 2. Fiir einen Divisor A sei wie iiblich L(A) = (f E F I (f) 2 --A}, Q ( A ) = (W E 9 I ( 0 ) 2 A } .

Equality of geometric Goppa codes and equivalence of divisors

“…If moreover res P i (η) = 1 for all P i , then C(D, G) is self-dual.Proof See[11]. If there exists a divisor G such that 2G = D + K, where K is a canonical divisor, then D ≡ 2A for some divisor A, see[9] or[16, 3.1.3]. Theorem 5.5 Assume n > 2g + 2. a) The code C(D, G) is self-dual if and only if there exists a differential form η with simple poles and residue 1 at every P i such that 2G = D + K, where K = (η).…”