Dynnikov and train track transition matrices of pseudo-Anosov braids

Abstract

We compare the spectra of Dynnikov matrices with the spectra of the train track transition matrices of a given pseudo-Anosov braid on the finitely punctured disk, and show that these matrices are isospectral up to roots of unity and zeros under some particular conditions. It is shown, via examples, that Dynnikov matrices are much easier to compute than transition matrices, and so yield data that was previously inaccessible.

Pseudo-Anosov Örgülerin Topolojik Entropisi ve Çekici Matrisler

“…' de tanımlı çoklu eğrileri koordinatlandırmanın kullanışlı bir yolu Dynnikov koordinat sistemini kullanmaktır (Dynnikov, 2002;Dynnikov, 2007;Hall, 2009;Yurttaş, 2016). ℒ , 'de tanımlı çoklu eğrilerin kümesini göstersin.…”

“…Bu örgü ailesi daha önce Bestvina-Handel train-track geçiş matrisleriyle (Bestvina ve Handel, 1995) ve train-track geçiş matrislerine göre hesaplanması çok daha hızlı olan Dynnikov matrisleriyle (Yurttaş, 2016) çalışılmıştır. Daha sonra bir pseudo-Anosov örgünün invaryant ölçülü yapraklanmalarına ilişkin tekil noktalarının belirlediği bazı koşullar altında train-track geçiş matrisleri ve Dynnikov matrislerinin 1 in kökleri ve sıfırlar dışında özdeğer kümelerinin aynı olduğu ispatlanmıştır.…”

Dynnikov koordinatları ve π_1–train track grafikleri

“…olarak tanımlanan : ℒ → ℤ 2 −4 \{0} Dynnikov koordinat fonksiyonu birebir ve örtendir [10,17,18,19,20]. Şekil 3' de verilen ℒ çoklu eğrisinin Dynnikov koordinatları (ℒ) = ( , ) = (3, −1; 1,3)' dır.…”

“…Yüzeyin -noktası çıkarılmış diski ( adet işaretlenmiş noktalı disk) olması durumunda çoklu eğrileri tanımlamanın alternatif ve oldukça kullanışlı bir yolu çoklu eğrilerin kümesi ile ℤ 2 −4 \{0} ( ≥ 3) arasında birebir ve örten bir fonksiyon tanımlayan Dynnikov koordinat sistemini kullanmaktır [5,6,13,3,4,10,17,18,19,20]. Dinamik sistemlerde oldukça geniş bir uygulama alanı olan Dynnikov koordinat sistemi, -Örgü Grubunda [1] kelime probleminin çözümü [3], pseudo-Anosov tipinden örgülerin topolojik entropi ve diğer dinamiksel özelliklerinin hesaplanması [13,8,10,18,9] problemlerinde kullanılmıştır. Ayrıca, bir çoklu eğrinin bağlantılı olup olmadığını polinomsal zamanda hesaplayan bir algoritmanın varlığı açık problemi [7] uzun bir aradan sonra durumu için Dynnikov koordinatları verilen bir çoklu eğrinin tam olarak kaç parçadan oluştuğunu kuadratik zamanda hesaplayan bir algoritma tanıtılarak çözülmüştür [19].…”

“…Bunun sonucunda de verilen iki keyfi çoklu eğrinin geometrik kesişim sayısı yine Dynnikov koordinatları cinsinden kuadratik zamanda çalışan bir algoritma ile hesaplanmıştır [20]. Yüzey homeomorfizmalarının dinamiği [7,16,10,18] ve eğriler ile ilgili kombinatorik problemleri [15,19,20] çalışmak için en sık kullanılan koordinat sistemlerinden biri de train track grafikleridir [14,2,11,12]. Bir train track grafiği düğme adı verilen köşeler ve dal adı verilen kenarlardan oluşan, her bir düğmede bir tek teğet vektörü bulunan ve belli geometrik özellikleri sağlayan bir -komplekstir.…”