Dynamics of the Suslov problem in a gravitational field: reversal and strange attractors

Abstract

В работе приведены некоторые результаты исследования хаотической динамики в задаче Суслова, описывающей движение тяжелого твердого тела с неподвижной точкой, подчиненного неголономной связи (ω, e) = 0, где ω-угловая скорость тела, e-единичный вектор, неподвижный в теле. В зависимости от параметров системы указаны случаи регулярного (в частности, интегрируемого) поведения, а также обнаружены различные притягивающие множества (в том числе странные аттракторы), типичные для диссипативных систем. В задаче указаны области фазового пространства, в которых консервативная и диссипативная динамика сосуществуют на достаточно мелких масштабах. Подробно исследован эффект реверса, ранее наблюдавшийся в движении кельтских камней.

Historical and critical review of the development of nonholonomic mechanics: the classical period

“…6 Отметим, что в последние годы обнаружен ряд новых неголономных систем, в которых наблю-дается реверс (см., например, [5,9]). …”

“…Запишем уравнения для изменения импульса тела и момента импульса относительно центра масс G в системе координат, связанной с телом следующим образом: 5) где N -сила реакции в точке касания P , m -масса тела, g -ускорение свободного паде-ния, I -тензор моментов инерции тела относительно центра масс, γ -нормаль к плоскости. Проблема заключается в том, что при записи уравнений движения (6.5), описывающих качение твердого тела по абсолютно шероховатой поверхности, одновременно используются две независимые идеи.…”

Understanding reversals of a rattleback

“…Apart from the well-known stable and unstable stationary equilibrium rotations about the vertical principal inertia axis there may exist limit cycle solutions and even strange attractors [9,12,4]. It appears that reversal phenomena in dynamics of nonholonomic rigid bodies are quite common and have been discovered in motion of Chaplygin ball [6] and Suslov top [2]. In a more general framework of nonholonomic systems on a Lie algebra change of stability of stationary motions and reversion of direction of motion has been discussed in [14].…”

The Hess—Appelrot system and its nonholonomic analogs

“…In [5,34,51,24,52,11], a qualitative analysis is made of the dynamics of the Suslov problem. In particular, cases of the existence of an invariant measure and additional first integrals are presented and the topological type of integral manifolds is investigated.…”

“…The equations of motion in the Suslov problem with a nonzero gravitational field are nonholonomic analogs of the Euler-Poisson equations, which in the general case possess no smooth invariant measure, but, depending on the system parameters, can admit both regular and chaotic behavior. Chaotic dynamics and reversal phenomena in the Suslov problem are examined in [5].…”