Division dans les espaces de Lipschitz de fonctions holomorphes

2013

Illinois J. Math.

Let D be a strictly convex domain of C n , f1 and f2 be two holomorphic functions defined on a neighborhood of D and set X l = {z, f l (z) = 0}, l = 1, 2. Suppose that X l ∩bD is transverse for l = 1 and l = 2, and that X1 ∩X2 is a complete intersection. We give necessary conditions when n ≥ 2 and sufficient conditions when n = 2 under which a function g to be written as g = g1f1 +g2f2 with g1 and g2 in L q (D), q ∈ [1, +∞), or g1 and g2 in BM O(D). In order to prove the sufficient condition, we explicitly write down the functions g1 and g2 using integral representation formulas and new residue currents.

“…We plug together (5), (6) and (7) and their analogue for D g 2 (ζ) (f 2 (ζ) − f 2 (z)) P N,2 (ζ, z) in (4) and we get…”

Section: The Division Formulamentioning

confidence: 99%

Division of holomorphic functions and growth conditions

Alexandre¹,

2013

Illinois J. Math.

“…Par des arguments standards (voir par exemple [3]), pour estimer les termes ci-dessus, il suffit d'avoir des estimations sur les deux termes suivants:…”

Section: Preuve De La Proposition 23unclassified

“…. , f p ) qui définie une intersection compléteà croisements normaux (voir cidessous pour les définitions); on peut noter que dans ( [3]), les auteurs ont obtenu des résultats de décomposition dans les espaces de Lipschitz pour les fonctions holomorphes, en supposant que (f 1 , . .…”

Section: Introductionunclassified

Extension et division dans les variétés à croisements normaux

Maati¹,

Publicacions Matemàtiques

2001

Let D be a bounded strictly pseudoconvex domain with smooth boundary and f = (f 1 ,. .. , fp) (f i ∈ Hol(D)) a complete intersection with normal crossing. In this paper we study an extension problem in L ∞-norm for holomorphic functions defined on f −1 (0) ∩ D and a decomposition formula g = p i=1 f i g i for holomorphic functions g ∈ I (f 1 ,...,fp) (D) in Lipschitz spaces. We stress that for the two problems the classical theorem cannot be applied because f −1 (0) has singularities on the boundary ∂D. This work is the first step to understand this type of problem in the general singular case.

“…où le domaine d'intégration est {ρ(ζ(t)) < 0}. En utilisant des intégrations par partie successives (voir [2]), nous obtenons que (2.12) est majoré par le module de termes du type :…”

Section: §0 Introductionunclassified

“…En utilisant (2.1) et l'estimation |ζ − z|2 |ρ(ζ) + p(ζ, z), ζ − z |, l'expression (2.3) est l'action du courant résiduel sur une forme différentielle, φ(ζ, z), uniformément bornée ainsi que toutes ses dérivées (dans (2.3), ζ ne peutêtre proche de z, si z ∈ B(z 0 , r)) ; par conséquent, l'étude du terme (2.3) est similaireà celle du terme (2.2) (même moins délicate vu la remarque précédente). Pour estimer F , quand z ∈ B(z 0 , r), il suffit donc d'estimer(2.2).D et Xétant en situation régulière, dans les coordonnées données par la définition 1-1, si r est suffisamment petit, le terme (2.2) devient :…”

unclassified

Variétés Singulières et Extension des Fonctions Holomorphes

Duquenoy¹,

Nagoya Mathematical Journal

2008

Abstract. In this paper, we study a problem of extension of holomorphic functions given on a complex hypersurface with singularities on the boundary of a strictly pseudoconvex domain. §0. Introduction Les résultats principaux de cet article concernent un problème d'extension de fonction holomorphe, f , donnée sur une hypersurface complexe irréductible X définie au voisinage d'un domaine strictement pseudoconvexe D. Un théorème fondamental de Henkin [4] affirme que si X n'a pas de singularités sur ∂D alors f bornée admet une extension holomorphe bornée ; ce qui est faux si X a des singularités sur le bord de D (pour un contre-exemple, voir par exemple [3]). Ici, nous donnons une condition suffisante "raisonnable" sur f pour qu'une telle propriété d'extension H ∞ soit assurée pour certains modèles d'hypersurface complexe (voir définition 1-6-admettant notamment un paramétrage local). A notre connaissance, il n'existe qu'un résultat d'extension ([1]) dans le cas singulier mais en norme L 2 et la condition suffisante avancée est très forte : elle entraîne que f s'annule sur les singularités de X. Mais ce résultat est valable sans aucune restriction sur D pseudoconvexe. L'autre situation envisagée est le cas d'une hypersurface X de multiplicité inférieureà 2 sur ∂D (nous appelons très improprement de telles hypersurfaces de type "Morse"). A la différence, des hypersurfaces modèles cidessus, ce type d'hypersurface n'admet pas de paramétrage local, en général.Dans notre situation, la difficulté réside dans le fait que nous utilisons une extension de f donnée par l'action du courant résiduel associéà X, sur une certaine forme différentielle et malheureusement, il est bien connu qu'il