Extension et division dans les variétés à croisements normaux

Abstract

Let D be a bounded strictly pseudoconvex domain with smooth boundary and f = (f 1 ,. .. , fp) (f i ∈ Hol(D)) a complete intersection with normal crossing. In this paper we study an extension problem in L ∞-norm for holomorphic functions defined on f −1 (0) ∩ D and a decomposition formula g = p i=1 f i g i for holomorphic functions g ∈ I (f 1 ,...,fp) (D) in Lipschitz spaces. We stress that for the two problems the classical theorem cannot be applied because f −1 (0) has singularities on the boundary ∂D. This work is the first step to understand this type of problem in the general singular case.

Variétés Singulières et Extension des Fonctions Holomorphes

“…En utilisant, les changements de variables de ( [6], p. 359), on obtient aisément que cette expression est bornée. §3.…”

“…où les ϕ i sont les composantes sans dζ i ∧ dζ i du noyaub(ζ, z) ∧ A N,n (ζ, z) défini par la formule (2−1). Il est très facile de voir,à l'aide d'un changement de variable classique dans les domaines strictement pseudoconvexes (voir par exemple [6], p. 359) et le lemme 3-1, que le terme (3.3)…”

“…Dans ce qui suit, nous envisageons donc des hypersurfaces irréductibles modèles, ce qui conduità des hypothèses relativement techniques mais nécessaires si l'on ne veut pas aller plus avant dans une résolution des singularités. Evidemment, le cas de Xà croisements normaux se traite sans résolution (voir [6]) ; nos hypersurfaces modèles ne sont pasà croisements normaux mais on peut se ramenerà cette situation par un théorème de structure pour les courants résiduels (voir preuve du théorème 1-5) et par "paramétrage". de C n+1 définie au voisinage deD ; on dit que D et X sont en situation régulière si et seulement si ∀z 0 ∈ ∂D ∩ X, il existe (Z) = (Z 1 , .…”

“…Il est très facile de voir,à l'aide d'un changement de variable classique dans les domaines strictement pseudoconvexes (voir par exemple [6], p. 359) et le lemme 3-1, que le terme (3. Commeà la partie 3, considérons h une fonction holomorphe au voisinage de 0 et supposons que 0 est une singularité de "Morse" pour h. On peut, sans perte de généralité, supposer que Ord 0 h(0, .…”

“…Pour finir les estimations classiques dans les domaines strictement pseudoconvexes (voir toujours [6], p. 359) et le lemme 3-1 assurent que (3.9) est dans BMO si f est bornée sur l'hypersurface complexe.…”