Deformationen von Quotientensingularit�ten (nach zyklischen Gruppen)

Abstract

Zur Erinnerung an meinen Freund Ulrich von HundetshausenDiese Arbeit verdankt ihr Entstehen dem Wunsch, Beispiele zu konstruieren fiir das Zusammenblasen von Deformationen der Aufl/3sung einer rationalen Singularit~it zu Deformationen der Singularit~it selbst (vgl. [13]). Der Einfachheit halber haben wir uns dabei zun~ichst auf diejenigen rationaten Singularit~iten beschr~inkt, ftir die der zu dem exzeptionellen Kurvensystem einer minimalen AufliSsung gehiSrende duale Graph unverzweigt ist. Dies sind bekanntlich die zweidimensionalenIm allgemeinen sind also die Singularitaten X.,q keine vollst~indigen Durchschnitte. Trotzdem gelingt es, alle Relationen zwischen den deftnierenden Gleichungen zu bestimmen ( § 4) und eine interessante Familie yon Singularitaten mit spezieller Faser X.,~ zu konstruieren ( § 5). Die Singularitaten der Nachbarfasern von X.,q in dieser Familie sind alle vom Typ X.,q,; wir sind in der Lage, samtliche Graphen der auftretenden Singularit~iten anzugeben. Die Familie besitzt stets eine einparametrige Unterfamilie mit singularit~tenfreier allgemeiner Faser. Dies impliziert:Keine Singularitiit Xn, q ist starr, Die Aufl6sung X.,q von X.,q besitzt ebenfalls eine kanonische Deformation ( § 6). Wit k6nnen zeigen, dab durch Zusammenblasen dieser Deformation (im wesentlichen) die obige Deformation yon X.,~ entsteht. Somit findet die in § 5 beschriebene Variation der Graphen ihre Er-kl~irung in dem analogen Verhalten von exzeptionellen Kurven bei Deformation der umgebenden Mannigfaltigkeit. Es k6nnen dabei die folgenden Ph~inomene auftreten: (i) Irreduzible Komponenten verschwinden. (ii) Zwei sich transversal schneidende Komponenten mit Selbstschnittzahl -b 1 bzw. -b 2 vereinigen sich zu einer einzigen singulariffitenfreien rationalen Kurve mit Selbstschnittzahl -(b 1 + b 2 -2).Wir geben schlieBlich ( § 7) eine Formel f'tir die Dimension des Vektorraumes aller infinitesimalen Deformationen von X.,~ an, die Mum-Deformationen von Quotientensingularit~iten 213 fords Formel [9] far X,,1, den Kegel tiber der rationalen Kurve vom Grad n in IP,, verallgemeinert. Aus ihr folgt, dab die in § 5 angegebene Deformation im Falle der Einbettungsdimension e = eibA,,q> 5 nicht versell ist. Ffir e = 4 (wie ftir e = 3), stimmt sie jedoch mit der verselten Deformation iiberein. Wir konstruieren noch die verselle Familie fiir e = 5 , womit das Ergebnis von Pinkham [12] f'tir X4,1 verallgemeinert wird. Im Gegensatz zu [t2], wo man mit einfachen Homogenit~itsbetrachtungen auskommt, erfordert unser Beweis eine gr6Bere Rechnung. Obwohl auf dieselbe Weise auch die h6heren Einbettungsdimensionen behandelt werden k6nnen, verzichten wir wegen des untiberschaubar werdenden Rechenaufwandes auf die Durchf'tihrung und be-schr~inken uns auf einige weitere Bemerkungen zum Fall e = 6. Ftir die Kegel X,, 1 kann man vollst~indige Ergebnisse bei Pinkham finden.Eine Reihe von Problemen konnte in dieser Arbeit noch nicht ab-schlieBend gekl~irt werden. Zudem tassen die erzielten Ergebnisse die Vermutung zu, dab entsprechende Verh~ittnisse b...

Sums of lens spaces bounding rational balls

“…By Donaldson's theorem on the intersection form of definite 4-manifolds [3], the intersection forms of X Y and X We now briefly recall Riemenschneider's point rule [12]. Let p > q > 0 be coprime integers, and suppose This concludes the proof.…”

A note on graphs and rational balls

“…. , a n 3 ,3 ) are related to one another by Riemenschneider's point rule [11]. A notion that will appear in the text and is related to complementary legs is that of the dual of a string of integers (a 1 , .…”

Quotient complete intersections of affine spaces by finite linear groups

“…(1) and (2) are known ( [30]), and (5) follows easily from (2). To show (3) and (4), we may assume that c ; = 1.…”

“…Thus the assertions are evident (cf. [30]). [25,21]), Xf -Xf is a relative invariant of L, and hence both Xf + Xf and (X x Xj) q are relative invariants of L. Clearly L\9t{CX x Θ CX,; L) is cyclic, and we must have…”