Decompositions of triangle-free 5-regular graphs into paths of length five

Botler, Fábio; Mota, Guilherme Oliveira; Wakabayashi, Yoshiko

doi:10.1016/j.disc.2015.04.018

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“…A closely related problem to the conjecture of Gallai that has drew great interest [2,7,9,12,13] is as follows: given a family of paths H, is there a decomposition D of G such that each graph in D is isomorphic to a graph in H? We give a step forward towards obtaining constrained path decompositions of even regular graphs.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

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On path decompositions of2k-regular graphs

Botler

Jiménez

2017

Discrete Mathematics

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Tibor Gallai conjectured that the edge set of every connected graph G on n vertices can be partitioned into ⌈n/2⌉ paths. Let G k be the class of all 2k-regular graphs of girth at least 2k − 2 that admit a pair of disjoint perfect matchings. In this work, we show that Gallai's conjecture holds in G k , for every k ≥ 3. Further, we prove that for every graph G in G k on n vertices, there exists a partition of its edge set into n/2 paths of lengths in {2k − 1, 2k, 2k + 1}.

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Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

“…Theorem 3 (Botler et al [1,2]). Let k ≥ 3 and G be a 2k − 1-regular graph of girth at least 2k − 2 that admits a perfect matching.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

On path decompositions of2k-regular graphs

Botler

Jiménez

2017

Discrete Mathematics

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“…Para isso, eles constroem uma decomposição do grafo em trilhas com 3 arestas, i.e, 3-caminhos e triângulos, e depois mostram que se nessa decomposição existe algum triângulo X, então existe um outro elemento Y tal que X ∪ Y pode ser decomposto em dois caminhos de comprimento 3. Em [BMW15], decompomos um grafo 5-regular, que contém um emparelhamento perfeito e é livre de triângulos, em trilhas de comprimento 5 que podem conter um C 4 (veja Figura 3.1). Depois mostramos que se trocarmos arestas entre os elementos dessa decomposição numa determinada ordem, obtemos uma decomposição em 5-caminhos.…”

Section: Um Lema De Desemaranhamentounclassified

“…Os dois resultados seguintes constituem casos especiais dos teoremas que provaremos a seguir. Para o caso m = 1, generalizamos o resultado em [BMW15], que afirma que todo grafo 5-regular livre de triângulos e que contém um emparelhamento perfeito admite uma P 5 -decomposição.…”

Section: Decomposições De Grafos Regularesunclassified

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Decomposição de grafos em caminhos

Botler¹

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Uma decomposição de um grafo G é um conjunto D = {H 1 , • • • , H k } de subgrafos de G dois-adois aresta-disjuntos que cobre o conjunto das arestas de G. Se H i é isomorfo a um grafo fixo H, para 1 ≤ i ≤ k, então dizemos que D é uma H-decomposição de G. Neste trabalho, estudamos o caso em que H é um caminho de comprimento fixo. Para isso, primeiramente decompomos o grafo dado em trilhas, e depois fazemos uso de um lema de desemaranhamento, que nos permite transformar essa decomposição em trilhas numa decomposição somente em caminhos. Com isso, obtemos resultados para três conjecturas sobre H-decomposição de grafos no caso em que H = P é o caminho de comprimento. Dois desses resultados resolvem versões fracas das Conjecturas de Kouider e Lonc (1999) e de Favaron, Genest e Kouider (2010), ambas para grafos regulares. Provamos que, para todo inteiro positivo , (i) existe um inteiro positivo m 0 tal que se G é um grafo 2m-regular com m ≥ m 0 , então G admite uma P-decomposição; (ii) se é ímpar, existe um inteiro positivo m 0 tal que se G é um grafo m-regular com m ≥ m 0 , e G contém um m-fator, então G admite uma P-decomposição. O terceiro resultado diz respeito a grafos altamente aresta-conexos: existe um inteiro positivo k tal que se G é um grafo k-aresta-conexo cujo número de arestas é divisível por , então G admite uma P-decomposição. Esse resultado prova que a Decomposition Conjecture de Barát e Thomassen (2006), formulada para árvores, é verdadeira para caminhos.

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Decomposing subcubic graphs into claws, paths or triangles

Bulteau

Fertin

Labarre

et al. 2021

Journal of Graph Theory

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Let S = { K 1 , 3 , K 3 , P 4 } be the set of connected graphs of size 3. We study the problem of partitioning the edge set of a graph G into graphs taken from any nonempty S ′ ⊆ S. The problem is known to be sans-serifNP‐complete for any possible choice of S ′ in general graphs. In this paper, we assume that the input graph is subcubic (i.e., all its vertices have degree at most 3), and study the computational complexity of the problem of partitioning its edge set for any choice of S ′. We identify all polynomial and sans-serifNP‐complete problems in that setting.

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Decompositions of triangle-free 5-regular graphs into paths of length five

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On path decompositions of2k-regular graphs

On path decompositions of2k-regular graphs

Decomposição de grafos em caminhos

Decomposing subcubic graphs into claws, paths or triangles

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