Decomposição de grafos em caminhos

Abstract

Uma decomposição de um grafo G é um conjunto D = {H 1 , • • • , H k } de subgrafos de G dois-adois aresta-disjuntos que cobre o conjunto das arestas de G. Se H i é isomorfo a um grafo fixo H, para 1 ≤ i ≤ k, então dizemos que D é uma H-decomposição de G. Neste trabalho, estudamos o caso em que H é um caminho de comprimento fixo. Para isso, primeiramente decompomos o grafo dado em trilhas, e depois fazemos uso de um lema de desemaranhamento, que nos permite transformar essa decomposição em trilhas numa decomposição somente em caminhos. Com isso, obtemos resultados para três conjecturas sobre H-decomposição de grafos no caso em que H = P é o caminho de comprimento. Dois desses resultados resolvem versões fracas das Conjecturas de Kouider e Lonc (1999) e de Favaron, Genest e Kouider (2010), ambas para grafos regulares. Provamos que, para todo inteiro positivo , (i) existe um inteiro positivo m 0 tal que se G é um grafo 2m-regular com m ≥ m 0 , então G admite uma P-decomposição; (ii) se é ímpar, existe um inteiro positivo m 0 tal que se G é um grafo m-regular com m ≥ m 0 , e G contém um m-fator, então G admite uma P-decomposição. O terceiro resultado diz respeito a grafos altamente aresta-conexos: existe um inteiro positivo k tal que se G é um grafo k-aresta-conexo cujo número de arestas é divisível por , então G admite uma P-decomposição. Esse resultado prova que a Decomposition Conjecture de Barát e Thomassen (2006), formulada para árvores, é verdadeira para caminhos.

Decomposition of Graphs into Paths

“…We conclude mentioning that the results obtained in [Botler 2016] have been published in the Journal of Combinatorial Theory, Series B [Botler et al 2017a] and Discrete Mathematics [Botler et al 2015c]; and have been accepted to the European Journal of Combinatorics [Botler et al 2017b] and Discrete Applied Mathematics [Botler et al 2016], the first one being one the most prestigious journals in combinatorics. We have also presented these results in many international conferences, among which we mention ICGT 2014, LAGOS 2015, EuroComb 2015 [Botler et al 2015b, Botler et al 2015a.…”

“…Thus, using the edges of H we can extend each path of D with one out-going edge at each of its end-vertices, obtaining a decomposition D of G into vanilla -trails. The Disentangling Lemma in [Botler 2016] is then used to transform D into a balanced P -decomposition of G, concluding the proof.…”

“…Owing to space limitation, we only mention the main results and ideas contained in [Botler 2016]. For more details on the results of Section 2, the reader is referred to [Botler et al 2015b]; full proofs of the results in Section 3 are given in [Botler et al 2017a].…”