Das Gegenkopplungstheorem für passive Systeme und seine Einsatzmöglichkeiten (The Feedback Theorem for Passive Systems and its Fields of Application)

Abstract

Passive Systeme sind Systeme, die keine Energiequellen besitzen, so dass -wenn von außen keine Energie zugeführt wird -die im System gespeicherte Energie nicht anwachsen kann. Bringt man zwei passive Systeme, von denen mindestens eines verlustbehaftet ist, zur Gegenkopplung, so findet zwischen den beiden Systemen ein Energieaustausch statt, bei dem Energie dissipiert. Die Gegenkopplungsstruktur wird mit der Zeit einen Zustand minimaler Energie annehmen und stabil in diesem verharren. Die Behandlung des Gegenkopplungstheorems für passive Systeme ist Gegenstand des vorliegenden Beitrags. Es wird aufgezeigt, welche Einsatzmöglichkeiten sich daraus ergeben, um unter dem Aspekt der Stabilität Analyse und Synthese zu betreiben. Dabei werden Regelkreise betrachtet, die neben einem LTI-System (lineares zeitinvariantes System) ein parameterunsicheres LTI-System, ein LTV-System (lineares zeitvariantes System) oder ein nichtlineares System beinhalten. Insbesondere zeigt sich, dass man Zugang zu LTV-Regelkreisen erhält durch Herstellen einer affinen Abhängigkeit zwischen Zustandsraummatrizen und zeitveränderlichen Parametern; für Nichtlinearitäten, die allgemeiner sind als Sektornichtlinearitäten, wird ein verallgemeinertes Kreiskriterium angegeben.Passive systems are systems that are free of energy sources such that -provided that no energy is supplied from external sources -the stored energy is non-increasing. Setting a passive system into feedback interconnection with a lossy passive system an energy exchange takes place where energy dissipates out of the feedback loop. Thus the feedback system will reach a state of minimal energy and remain there in a stable manner. The present paper is focussed on the feedback theorem for passive systems and with respect to stability the theorem's fields of application for analysis and synthesis are pointed out. In this context control loops are treated that contain in addition to a LTI-system (linear time-invariant system) an uncertain LTI-system or a LTV-system (linear time-variant system) or a nonlinear system respectively. Particularly it is shown that LTV control loops can be handled by establishing an affine relation between state-space matrices and time-variant parameters; for nonlinearities that are more general than sector-nonlinearities a generalized circle criterion is stated.