Counting components of an integral lamination

Abstract

We present an efficient algorithm for calculating the number of components of an integral lamination on an n-punctured disk, given its Dynnikov coordinates.The algorithm requires O(n 2 M ) arithmetic operations, where M is the sum of the absolute values of the Dynnikov coordinates.

Dynnikov koordinatları ve π_1–train track grafikleri

“…olarak tanımlanan : ℒ → ℤ 2 −4 \{0} Dynnikov koordinat fonksiyonu birebir ve örtendir [10,17,18,19,20]. Şekil 3' de verilen ℒ çoklu eğrisinin Dynnikov koordinatları (ℒ) = ( , ) = (3, −1; 1,3)' dır.…”

“…Böyle sistemler genellikle Dehn-Thurston koordinatları veya train track koordinatları tarafından tanımlanmaktadır [14,2,11,12]. Yüzeyin -noktası çıkarılmış diski ( adet işaretlenmiş noktalı disk) olması durumunda çoklu eğrileri tanımlamanın alternatif ve oldukça kullanışlı bir yolu çoklu eğrilerin kümesi ile ℤ 2 −4 \{0} ( ≥ 3) arasında birebir ve örten bir fonksiyon tanımlayan Dynnikov koordinat sistemini kullanmaktır [5,6,13,3,4,10,17,18,19,20]. Dinamik sistemlerde oldukça geniş bir uygulama alanı olan Dynnikov koordinat sistemi, -Örgü Grubunda [1] kelime probleminin çözümü [3], pseudo-Anosov tipinden örgülerin topolojik entropi ve diğer dinamiksel özelliklerinin hesaplanması [13,8,10,18,9] problemlerinde kullanılmıştır.…”

“…Dinamik sistemlerde oldukça geniş bir uygulama alanı olan Dynnikov koordinat sistemi, -Örgü Grubunda [1] kelime probleminin çözümü [3], pseudo-Anosov tipinden örgülerin topolojik entropi ve diğer dinamiksel özelliklerinin hesaplanması [13,8,10,18,9] problemlerinde kullanılmıştır. Ayrıca, bir çoklu eğrinin bağlantılı olup olmadığını polinomsal zamanda hesaplayan bir algoritmanın varlığı açık problemi [7] uzun bir aradan sonra durumu için Dynnikov koordinatları verilen bir çoklu eğrinin tam olarak kaç parçadan oluştuğunu kuadratik zamanda hesaplayan bir algoritma tanıtılarak çözülmüştür [19]. Bunun sonucunda de verilen iki keyfi çoklu eğrinin geometrik kesişim sayısı yine Dynnikov koordinatları cinsinden kuadratik zamanda çalışan bir algoritma ile hesaplanmıştır [20].…”

“…Bunun sonucunda de verilen iki keyfi çoklu eğrinin geometrik kesişim sayısı yine Dynnikov koordinatları cinsinden kuadratik zamanda çalışan bir algoritma ile hesaplanmıştır [20]. Yüzey homeomorfizmalarının dinamiği [7,16,10,18] ve eğriler ile ilgili kombinatorik problemleri [15,19,20] çalışmak için en sık kullanılan koordinat sistemlerinden biri de train track grafikleridir [14,2,11,12]. Bir train track grafiği düğme adı verilen köşeler ve dal adı verilen kenarlardan oluşan, her bir düğmede bir tek teğet vektörü bulunan ve belli geometrik özellikleri sağlayan bir -komplekstir.…”

Integral laminations on nonorientable surfaces

“…Here we shall give the analogy of the Dynnikov coordinate system [1][2][3] on a finitely punctured disk that has several useful applications such as giving an efficient method for the solution of the word problem of the n -braid group [1], computing the geometric intersection number of integral laminations [9], and counting the number of components they contain [11].…”