Cormack-type inversion of attenuated Radon transform

Abstract

The reconstruction of a function from its attenuated Radon transform (AtRT) finds many applications in medical and physical imaging. A lot of different algorithms of inversion of AtRT have been described based on the Novikov formula. In this paper, we consider a particular case of the AtRT, when the attenuation is axially symmetric. The reconstruction algorithm is based on circular harmonic decomposition. The work is in fact a natural generalization of the Cormack algorithm for the exponential Radon transform. This method of reconstruction is applicable to axially symmetric attenuated Radon transform with a complex attenuation and can be used for reconstruction in polarized tomography of stress tensor fields.

Томография В Оптически Осесимметричных Средах

“…Схема дальнейшего изложения следует аналогичной задаче для случая прямолинейного рас-пространения лучей [8] и поэтому во многих местах объяснения даются в краткой форме. Преобразуем на-копленное поглощение:…”

“…Следуя схеме работы [8], преобразуем интегралы в квадратных скобках. Перво-начально преобразуем интегралы в первой квадратной скобке, меняя в них порядок интегрирования:…”

“…Сами алгоритмы являются основой для разработки устойчивых численных методов обращения. Этому вопросу посвящена обширная литература, приме-нительно к осесимметричному поглощению этот вопрос частично освещен в работе [8].…”

“…При распространении лу-чей в среде с осесимметричным распределением по-казателя преломления траектория лучей описывается формулой Бугера [6], что несколько упрощает постро-ение алгоритма обращения преобразования Радона на луче. В том случае, когда поглощение на луче то-же аксиально симметрично, лучевой интеграл можно разложить по угловым гармоникам и его обращение построить по аналогии с алгоритмом Кормака [7,8]. Заметим, что с математической точки зрения алгоритм обращения справедлив и в том случае, когда погло-щение является комплексной величиной.…”

Fast Laplace Transforms for the Exponential Radon Transform

“…For instance, in [1] range conditions of operator R μ are shown using Paley-Wiener type theorems. Cormack-type inversion formulas are based on the circular harmonic expansion of the transform and solving integral equations of special type (generalized Cormack equations) and they are discussed in [16] with generalization for the attenuated Radon transform in [17]. An explicit integral formula for 180-degree data reconstruction is obtained in [18] along with numerical tests for the approximation of the integrals.…”