Construction of the fractional-nonlinear optimization method

Abstract

Запропоновано метод розв'язання задачі дрібно-нелінійної оптимізації. Показано, що саме до такої математичної моделі зводяться численні задачі управління запасами, раціонального розподілу обмежених ресурсів, відшукання оптимальних шляхів на графі, раціональної організації перевезень, управління динамічними системами та інші задачі у випадках, коли вихідні дані задачі описані в термінах теорії ймовірностей або нечіткої математики. Проведено аналіз відомих методів вирішення задач дрібно-нелінійної оптимізації. Найбільш продуктивний з них заснований на ітераційної процедурі послідовного поліпшення початкового рішення задачі. При цьому на кожному кроці вирішується задача математичного програмування. Метод сходиться, якщо область допустимих рішень компактна. Очевидний недолік методу -неконтрольована швидкість збіжності. В роботі запропонований метод розв'язання задачі, ідея якого перегукується з відомим методом дрібно-лінійної оптимізації. Запропонована технологія перетворює вихідну задачу з дрібно-раціональним критерієм до звичайної задачі математичного програмування. Головне достоїнство методу і його відмінність від відомих полягає в тому, що метод реалізується з використанням однокрокової процедури отримання рішення. При цьому розмірність задачі не є обмежуючим фактором. Вимоги до математичної моделі задачі, які звужують область можливих додатків розробленої методики: 1) компоненти цільової функції повинні бути сепарабельними функціями; 2) показники ступеня всіх нелінійних доданків компонентних функцій повинні бути однаковими. Інша важлива перевага методу полягає в можливості його використання для вирішення задачі безумовної та умовної оптимізації. Розглянуто приклади Ключові слова: оптимізація дрібно-нелінійної функції, лінійні обмеження, однокрокова процедура, точне розв'язання

Universal method for solving optimization problems under the conditions of uncertainty in the initial data

“…Π (17) Thus, a non-linear optimization problem has been obtained, with a fractional-quadratic objective function and linear constraints of the transportation type [22]. It is convenient to replace the problem of function maximization (17) with the equivalent problem of function minimization:…”

“…Now, the original problem is reduced to the following form: it is required to find a set Y = (y ij ), i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n, which minimizes (21) and satisfies constraints (22) to (24). Let us solve the resulting problem of quadratic programming.…”

“…By fitting (25) in (22) to (24), we obtain: By solving the resulting system of linear algebraic equations, we derive expressions for {λ i }, {μ j } via y 0 and the initial data {a i }, {b j }. By substituting these expressions in (25), we obtain ratios for y ij through y 0 .…”