Conservation Laws, Hierarchy of Dynamics and Explicit Integration of Nonholonomic Systems

Abstract

Институт компьютерных исследований, Удмуртский государственный университет Отдел математических методов нелинейной динамики Института математики и механики УрО РАН Россия 469034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1

Historical and critical review of the development of nonholonomic mechanics: the classical period

“…Следовательно, критерий, позволяющий проверить неголономность связей, может быть получен при помощи теоремы Фробениуса [39] (1877) (см. подробнее например, [13]). …”

“…Оказалось, что метод приводящего множителя позволяет представить уравнения движения в гамильтоновой форме после замены времени [13] в другой известной задаче Чаплыгина о качений динамически несимметричного шара на горизонтальной плоскости.…”

“…Отметим, что методы неголономной геометрии до сих пор не нашли своего воплощения в неголономной механике. 13 Отметим, что развитие геометрических методов поспособство-вало возникновению теоремы Рашевского -Чжоу, которая была независимо сформулирова-на в работах П. К. Рашевского (1938 г.) [112] и В. Л. Чжоу (1939 г.)…”

Integrability of the Constrained Rigid Body

“…In this case using the first integrals Φ 3 we can reduce the problem of integration of (7) to the problem of existence of an invariant measure and a fourth independent first integral Φ 4 . Under these assumptions, by the Euler-Jacobi Theorem (see for instance [10,5]) the Suslov problem is integrable [13]. In general system (7) has no invariant measure if the vector a is not an eigenvector of the tensor of inertia.…”

Inverse Approach in Ordinary Differential Equations: Applications to Lagrangian and Hamiltonian Mechanics

“…Hence the proof of the first part of statement (a) follows. The integrability by quadratures comes from the Euler-Jacobi Theorem (see for instance [3]). …”